Continuité d’une application

Je suppose qu'historiquement, il s'est plutôt passé le contraire.

Si cette histoire d'image réciproque de tout ouvert est un ouvert est vachement pratique à utiliser, il faut savoir qu'elle est équivalente à celle-ci, qui colle parfaitement à l'idée qu'on se fait intuitivement de la continuité: Une fonction de l'espace topologique $X$ dans l'espace topologique $Y$ est dite continue si pour tout $x\in X$ et tout voisinage de $f(x)$ dans $Y$, il existe un voisinage de $x$ dont l'image est contenue dans le voisinage mentionné précédemment (pour rappel un voisinage de $x\in X$ est une partie de $X$ qui contient un ouvert auquel $x$ appartient). Cette définition colle mieux à la définition qu'on se fait dans les espaces métriques.

Je ne sais pas où tu as trouvé tes sources, mais je trouve étonnant que ça te renvoie directement sur ces histoires d'ouverts sans passer par la définition intuitive. Je pense que tu es allé cash sur un truc de gros bourrins et te conseille de changer de bouquin si tu ne veux pas te noyer. En ce qui me concerne, j'utilise "topologie générale et espace normés" de Nawfal El Hage Hassan, deuxième édition, il manque parfois des démonstrations sans que ça soit bien justifié, mais il fait le taf et je le trouve assez progressif, voire extrêmement progressif en ce qui concerne les exercices.

Salut,
Ouch... En effet, vouloir intégrer de la topologie générale dans des études de physique, c'est super, mais ambitieux et finalement, assez indirect. Si c'est bien intégré, ça te permettra surtout de revoir l'analyse sur de meilleur base, mais c'est vraiment un gros investissement. Habituellement les mathématiques pour la physique sont surtout composée d'algèbre (un peu générale, c'est bien de connaître les définitions de bases et je suis aujourd'hui convaincu que la notion d'action de groupe est une notion que les physiciens théoriciens devraient connaître par cœur, mais le cœur du métier demandera surtout de l'algèbre linéaire) et pas mal d'analyse (mais à l'arrache). Je ne sais pas ce que contient le cours de Frederic Schuller, mais finalement, dans un premier temps, il est peut-être préférable d'en rester à un niveau prépa concernant la topologie: surtout bien connaître des notions de bases autour des définitions d'ouvert et de fermé, ne pas se prendre le chou avec les différents axiomes de séparation, éviter les filtres, regarder les compacts uniquement du point de vue d'un espace métrique, donc finalement, même avec le Nawfal El Hage Hassan, tu pourras pas mal écrémer (et même dans le premier chapitre)... Si tu as des facilités et que tu parviens à interpréter et enregistrer les informations très rapidement, tant mieux (et présente ton dossier à l'ENS), sinon, tape plutôt dans des livres MPSI et MP (et utilise les autres références juste pour jeter un œil aux définitions si il y a des références explicite dans tes autres références et parcourir les débuts de chapitres, juste pour tenter de se faire une idée quand ça te paraît abordable), ou prend un livre moins lourd et plus orienté L1 à L3, évite les grosses démonstrations, sauf si tu penses que leurs compréhension te donne une meilleure compréhension (de fait, c'est ce qui se passe, mais il ne faut pas se surcharger).

Personnellement, j'ai fait des études de physique (assez théorique, mais plutôt orienté matière condensée, donc principalement de la physique statistique et thermodynamique et de la mécanique quantique sous sa forme la plus utilisable). Je n'ai jamais retouché la topologie entre la prépa et ma décision il y a un peu moins de deux ans d'étudier sur mon temps libre les mathématiques (parce que j'aime bien), je ne l'ai pas trop mal vécu et j'avais même plus de billes que ce qu'on me demandait, par contre je ne sais pas ce que ça peut donner sur des études ultra-théoriques (au delà des modèles standards), je me demande même si il n'est pas plus malin les purs théoriciens de partir à 100% en mathématiques avant de revenir sur d'excellente base (mais là, on parle de la crème de la crème, les gens qui laissent leurs noms sur des trucs importants).