Ouvert réunion dénombrable de fermés

Azertyuiop12
Azertyuiop12
dans Topologie
Bonjour
Je bloque sur l’énoncé suivant.

Soit E K-ev normé quelconque, Montrer que tout ouvert de E peut s’écrire comme une union dénombrable de fermés.
J’ai compris comment cela fonctionnait pour la boule unité de R2, à savoir égale à l’union des boules fermées de centre 0 et de rayon 1-1/n. Or je ne vois pas comment généraliser en dimension quelconque...
Merci de votre aide

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Salut
    Il est plus simple de montrer qu'un fermé [est] une intersection dénombrable d'ouverts (utilise la fonction distance au fermé).
  • christophe c
    christophe c
    l est plus simple

    C'est purement psychologique, puisque tu évoques $A_n:=$ l'ensemble des $x\in U$ tel qu'il faut parcourir au moins la distance $1/n$ pour sortir de $U$. La psychologie est juste présente dans le fait que quand tu parles d'un fermé à une personne "tu devines" qu'elle va l'imaginer petit, et idem pour un ouvert. :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • marsup
    marsup
    :-D Je me suis dit exactement la même chose, christophe : il est plus simple de montrer que pour tous $p,q\in\N^*$, on a $\sqrt{2}\neq\frac{p}{q}$ que de montrer qu'il n'existe pas $p,q\in\N^*$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
  • christophe c
    christophe c
    lool petit clin d'oeil à un sujet récent.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • marsup
    marsup
    Sinon, pour $U$ un ouvert de $E$, on a $\forall x\in U$, $d(x) = \sup \{r>0, B(x,r)\subset U\} > 0$, et $d$ est 1-lipschitzienne, avec $d(y) = 0$ si $y\not\in U$.

    Eh bien on a $U = \cup_{n\in\N} \{x\in E, \text{ tq } d(x)\ge \frac{1}{2^ n}\}$.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Beeeein... euhh... En fait, j'ai juste supposé connues des propriétés du genre "l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points à distance nulle de la partie en question". Voire que l'expression "parfaitement normale" (qui n'a rien à voir avec les bêtes dont Arthur fait des sandwichs) apparaissait dans son cours. J'étais fier de moi! Je m'étais dit que pour une fois j'avais fait un truc dans les clous (a priori, non, tant pis).
  • Azertyuiop12
    Azertyuiop12
    Merci beaucoup !
    Je ne voyais pas pourquoi passer par les fermés était utile :)
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