Topologie et ensembles au plus dénombrables
Simple question de curiosité :
Pour l'instant, je n'ai quasiment jamais vu d'applications de la topologie sur des ensembles finis ou dénombrables. Sauf peut-être quand on découvre la topologie, quand on a des exercices comme "trouver une topologie non triviale sur $E=\{a;b;c;d\}$" pour se familiariser avec les notions.
Pour moi, ça a l'air logique qu'on n'ait pas besoin d'invoquer de topologie quand on ne travaille pas dans l'indénombrable. Mais y a-t-il des contextes/théories où c'est quand même nécessaire ? Je ne sais pas... en géométrie peut-être, ou en théorie des nombres ?
Racontez-moi un peu si vous avez des exemples :-)
Pour l'instant, je n'ai quasiment jamais vu d'applications de la topologie sur des ensembles finis ou dénombrables. Sauf peut-être quand on découvre la topologie, quand on a des exercices comme "trouver une topologie non triviale sur $E=\{a;b;c;d\}$" pour se familiariser avec les notions.
Pour moi, ça a l'air logique qu'on n'ait pas besoin d'invoquer de topologie quand on ne travaille pas dans l'indénombrable. Mais y a-t-il des contextes/théories où c'est quand même nécessaire ? Je ne sais pas... en géométrie peut-être, ou en théorie des nombres ?
Racontez-moi un peu si vous avez des exemples :-)
Réponses
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Ah oui, dans le point de vue des schémas, tout peut très bien être fini, mais on a besoin de la topologie quand même (Zariski + faisceaux)
Ceci : https://fr.wikipedia.org/wiki/Spectre_d'anneau L'ensemble $S(A)$ (spectre de $A$) des idéaux premiers d'un anneau commutatif $A$ a une topologie naturelle (la topologie de Zariski).
Cet ensemble d'idéaux peut très bien être fini (notamment si $A$ est un anneau fini), mais la topologie n'est quand même pas spécialement discrète ou grossière. -
Récemment marco a (re)prouvé qu'il existe des espaces topologiques qui ne s'injectent pas naturellement dans leur compactifié de Stone Cech en évoquant l'exemple célèbre d'une topologie $T_2$ ET CONNEXE sur $\N$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Ok, donc la géométrie algébrique un peu plus avancée fait ça tout le temps. C'est noté.
@christophe : sympa comme exemple ! -
Sur le forum, il y a eu un post à propos de la théorie de l'homotopie sur des espaces finis, et il y a même un livre d'une personne appelée Barmak sur ce sujet.
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Ça sert à quoi, à peu près ?
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