Exo 1.1 du Félix Tanré
Soient $f_1,f_2 : X \longrightarrow Y$ homotopes et soit $g : Y \longrightarrow Z$ quelconque. Montrer que $g \circ f_1$ et $g\circ f_2$ sont homotopes.
L'exo n'est pas corrigé dans le livre. Je pense que formulé tel quel, il est faux. Si $F : X \times [0,1] \longrightarrow Y$ est l'homotopie entre $f_1$ et $f_2$, la seule homotopie potentielle que je vois c'est $g \circ F$, qui n'a aucune raison d'être continue si $g$ est quelconque. Il y a une erreur dans l'énoncé du bouquin, ou c'est moi qui n'ai pas compris un truc ?
L'exo n'est pas corrigé dans le livre. Je pense que formulé tel quel, il est faux. Si $F : X \times [0,1] \longrightarrow Y$ est l'homotopie entre $f_1$ et $f_2$, la seule homotopie potentielle que je vois c'est $g \circ F$, qui n'a aucune raison d'être continue si $g$ est quelconque. Il y a une erreur dans l'énoncé du bouquin, ou c'est moi qui n'ai pas compris un truc ?
Réponses
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La composition de deux fonctions continues est continue.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Oui mais $g$ est supposée quelconque, justement. On est d'accord qu'il faut la supposer continue pour que ça marche ?
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Dans les bouquins de topologie, "$g: Y\to Z$" signifie que $g$ est une application continue. Donc "$g$ quelconque" veut dire "$g$ continue quelconque".
C'est sûrement explicité quelque part au début du bouquin (quelque chose comme "sauf mention expresse du contraire, toutes les applications considérées seront continues") -
Ils précisent "continue" partout dans le bouquin quand ils veulent continue, donc ça doit être un oubli. En tout cas on est d'accord que $g$ doit être continue pour que ça marche.
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Pour un contre-exemple lorsque $g$ est non continue, prendre $X:=Y:=\R$ avec topologie usuelle, $f_1:x\mapsto 0$, $f_2:x\mapsto \sqrt 2$ (fonctions constantes), $Z:=\{0,1\}$ avec topologie discrète et $g:=\mathbf 1_{\Q}$ (fonction caractéristique de $\Q$).
Cela dit je suis d'accord avec Maxtimax : ce genre de livre n'est consacré qu'à des fonctions continues sauf mention expresse du contraire. Pour un débutant les sous-entendus peuvent être certes problématiques.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je me doute bien, mais ils précisent continue tout le temps, donc je n'étais pas sûr.
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