Problème au sujet des bases dénombrables

La photo étant incomplète, il est fort probable que les parties F de N évoquées en "suggestion" soient fermées.

Tu veux plutôt dire "finies" ?

Sinon, "quasi compact", c'est compact au sens de Borel-Lebesgue, (de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un recouvrement fini) sans supposer la séparation, c'est ça ?

Sinon, encore, c'est très malin d'utiliser la notation $f$ à la fois pour désigner la fonction $X\to Y$ et l'élément générique $f\in F$.

(j'ai l'impression que l'énoncé nous suggère de montrer que les $B_F$, qui sont dénombrables, forment une base de $Y$. À montrer dans ce cas : $B_F$ ouvert, et tout ouvert $U\subset Y$ est réunion des $B_F \subset U$.)

Ce qui suit ne va pas, même si je pense qu'il y a de l'idée, mais la réalisation est ratée :

Ah oui, si on passe au complémentaire :

$\overline{B_F} =
\{
y \in Y,
\forall k\in F,
f^{-1}(y) \not\subset B_k
\}
= \bigcap\limits_{k\in F} f(\overline {B_k})
$

Or $f$ surjective donc $
f(\overline {B_k}) =
\overline
{f({B_k})}$ est ouvert car $f$ est fermée. (ah ben non c'est pas ça, je me suis embrouillé !)

Donc $\overline{B_F}$ est ouvert comme intersection finie d'ouverts.

Je réessaie avec une phrase :
$y\in B_F$ si tous ses antécédents appartiennent à un des $B_k, k\in F$, donc si aucun de ses antécédents n'appartient à l'intersection des complémentaires $\overline{B_k}$, donc si $y$ n'appartient pas à l'image de l'intersection $\bigcap\limits_{k\in F}\overline{B_k}$.

Donc le complémentaire de $B_F$ est fermé, car les $\overline{B_k}$ sont fermés, et que $f$ est fermée.

Mon dernier mot, Jean-Pierre est donc :
$$\overline {B_F} = f\big(\bigcap\limits_{k\in F}\overline{B_k}\big).$$

Avec cette caractérisation https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(topologie)#Propriétés ? Non, ça ne répond pas à la question, voir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1909296,1909456#msg-1909456

Recouvrement de $Y$ :
Soit $y\in Y$. Alors les $B_k\subset f^{-1}(y)$ recouvrent $f^{-1}(y)$, on extrait un recouvrement fini : $(B_k)_{k\in F}$, et alors $y\in B_F$.

L'intersection de $B_F$ et $B_{F'}$ est une union de $B_{F''}$ :
$$
\begin{align}
\displaystyle y\in B_{F} \cap B_{F'} & \Longleftrightarrow f^{-1}(y) \subset
\big(
\bigcup_{k\in F} B_{k}
\big)
\cap
\big(
\bigcup_{k'\in F'} B_{k'}
\big) \\
& \Longleftrightarrow f^{-1}(y) \subset
\big(
\bigcup_{k\in F,k'\in F'} \big(B_{k} \cap B_{k'} \big)
\big) \\
& \Longleftrightarrow f^{-1}(y) \subset
\big(
\bigcup_{k\in F,k'\in F'} \quad \bigcup_{i, \text{ tq }B_i \subset B_{k} \cap B_{k'}} B_i
\big)
\end{align}
$$
On extrait, pour tout $y$, un recouvrement fini $(B_i)_{i\in I(y)}$ de ce recouvrement.
$
\displaystyle y\in B_{F} \cap B_{F'}
\Longleftrightarrow f^{-1}(y) \subset
\big(
\bigcup_{i\in I(y)} B_i
\big)
$

Ainsi : $B_F \cap B_{F'} = \bigcup\limits_{y \in B_F \cap B_{F'}} B_{I(y)}$.

J'espère ne pas dire de bêtise : je trouve que ce n'est pas très très facile !

Même si j'ai l'impression que l'on utilise pas du tout l'hypothèse de surjectivité !

Ah oui bonne remarque, car cette hypothèse est indispensable, comme on voit pour $X$ compact, $f$ constante !

Je pense que si $f^{-1}(y) = \emptyset$, il faudra regarder ce qui arrive à $B_\emptyset \cap B_{F'}$.

Je n'arrive pas à trouver l'erreur, mais il se fait tard

@Chronixal: est-ce que tu pourrais demander à ton prof les stats sur ce bonus d'examen? J'aimerais bien les connaitre vu qu'il s'agit d'un examen de L3. Merci.

Sinon, une coincidence veut qu'une deuxième fois en peu de jours, la difficulté est psychologique. Cela provient d'un fait relativement conventionnel qui est qu'une topologie est composée d'ouverts (ie stable par union, etc) et non de fermés.

Il te suffit de passer aux fermés*** pour que l'exo ne nécessite plus d'inspiration.

*** C'est à dire que tu supposes que $L$ est un ensemble (le fait qu'il soit dénombrable n'a aucune importance) de fermés de $X$ tel que tout fermé de $X$ est intersection d'entre eux, et tu démontres que l'ensemble des images directes par $f$ des intersections finies d'éléments de $L$ a la même propriété pour la topologie de $Y$. Cela te permet de sauter l'étape où $f$ étant fermée, tu ne peux quand-même pas affirmer que l'image directe par $f$ d'un ouvert est un ouvert, alors que dualement, avec les fermés, tu le peux. Or parfois une étape de moins ça aide le cerveau.

Je te la baliserai d'un PC si tu veux.

Inter(X) signifie ensemble des éléments qui appartiennent à tous les éléments de X.

Comme promis, je te balise la preuve que j'ai postée. (Au fond les non-preuves laissant des passages en exercices sont bien plus digérables).

1/ L'hypothèse:

1.1/ $E,F$ deux espaces topoplogique, $f:E\to F$ continue, surjective et envoyant tout fermé de $E$ sur un fermé de $F$

1.2/ Un ensemble $A$ de fermés de $E$ tel que tout fermé de $E$ est intersection d'éléments de $A$

1.3/ Un cardinal $a$ tel que pour tout $b\in F$, l'image réciproque de $\{b\}$ par $f$ est $a$-quasicompact.


2/ Les objets proposés en plus.

2.1/ La notation $f[ U ]$ à la place de $f(U)$ trop abusif ici, pour désigner l'image directe de $U$ par $f$, autrement dit $\{z\mid \exists x\in U: f(x)=z\}$

2.2/ L'ensemble $C$ des fermés $H$ de $F$ obtenus en prenant une partie $L$ de $A$ de cardinal $<a$ et en calculant $H:=f[ \cap(L) ]$


3/ Les arguments:

3.1/ Le démon choisit un un fermé $Y$ de $F$. Ton but est de prouver que $Y$ est une intersection d'éléments de $C$

3.2/ En notant $X$ l'image réciproque de $Y$ par $f$, tu as d'une part que c'est un fermé de $E$ et d'autre part que $f[ X ]=Y$, car $f$ surjective.

3.3/ Tu prends $T:=$ l'ensemble des fermés $Z$ de $E$ tels que $X\subset Z$. Tu as par hypothèse que $X = \cap(T)$

3.4/ Tu notes disons $K$ l'intersection des éléments $R$ de $C$ tels que $Y\subset R$

3.5/ Il suffit ensuite d'obtenir une contradiction à partir de l'hypothèse ajoutée que $b\in K\setminus Y$.

Voilà, en espérant que ce balisage t'aide.



Concernant les photos que tu as postées, dont je rappelle les 3 énoncés à prouver en bonus, on a :

a/ Prouver que si un espace séparé (en fait $T_1$ suffit, $T_2$ est en trop) est tel que de tout recouvrement par des fermés on peut extraire un sous recouvrement fini alors il est fini. (Dans un espace $T_1$, les singletons sont fermés)

b/ Prouver que l'image réciproque du produit $n\mapsto ]-1/n,1/n[$ par $f:=(x\mapsto (x,x,x,x,\dots)$ est un singleton (en l'occurrence $(0,0,0,0,\dots )$) donc que $f$ n'est pas continue)

c/ L'exercice initial de ce fil,

Je peux te dire que si on a 2% de réussite sur (a) et (b) qui sont à peu près triviaux, on ne peut vraiment pas avoir plus de 0.3% de réussite sur le (c), en fin de planchage sur une copie d'examen. Après tout dépend de ce que le prof annonce comme rémunération du label bonus quand il est réussi.