Exercice 1.2 du Félix-Tanré

Je veux démontrer que $\mathbb{R}^{n+1}$ privé de deux points (appelons-les $a$ et $b$), et deux sphères $S^n$ tangentes en un point, ont le même type d'homotopie. Je me suis donné comme défi de le faire intégralement sans m'aider du corrigé.

Du coup, j'aimerais savoir si ce que j'écris ici est correct. Si l'on peut faire plus simple que moi, j'aimerais voir ça dans un second temps, je veux vraiment commencer par un truc que j'ai fait moi-même en entier.


La première étape, à mon avis, c'est déjà de transformer l'énoncé en un truc plus simple. Ils font souvent ça dans le livre en tout cas (et comme l'homotopie, c'est la théorie des espaces fabriqués en chewing-gum, on va faire comme les vrais topologues).

D'abord, au lieu de considérer $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{a;b\}$ avec deux points quelconques, on va travailler avec $X := \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{(1,0,...,0);(-1,0,...,0)\}$. Et mes deux sphères tangentes, on va prendre $S_{(1,0,...,0)}^n$ et $S_{(-1,0,...,0)}^n$, les sphères de $\mathbb{R}^{n+1}$ de rayon $1$ et centrées respectivement en $(1,0,...,0)$ et en $(-1,0,...,0)$, qui sont tangentes en $(0,...,0)$. J'appelle $Y := S_{(1,0,...,0)}^n \cup S_{(-1,0,...,0)}^n$

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D'abord, vérifions que le fait de changer d'espaces résout bien le problème.

Soient $X$, $Y$ et $Z$ trois espaces topologiques. On suppose que :

- $X$ et $Y$ ont même type d'homotopie : il existe $f : X \longrightarrow Y$ et $g : Y \longrightarrow X$ continues telles que $g \circ f \simeq id_X$ et $f \circ g \simeq id_Y$. Notons $F$ respectivement $G$ les homotopies associées.

- $Y$ et $Z$ ont même type d'homotopie : il existe $h : Y \longrightarrow Z$ et $k : Z \longrightarrow Y$ continues telles que $k \circ h \simeq id_Y$ et $h \circ k \simeq id_Z$. Notons $G'$ respectivement $H$ les homotopies associées.

Je suis persuadé que dans ce cas, $X$ et $Z$ ont même type d'homotopie (autrement dit, l'équivalence d'homotopie est une "relation d'équivalence" sur la classe des espaces topologiques) mais je m'emmêle un peu les pinceaux.

Puisque ce genre d'énoncé est rarement très original, je pense que mes équivalences d'homotopie seront $h \circ f : X \longrightarrow Z$ et $g \circ k : Z \longrightarrow X$, qui sont continues et dont je dois prouver que $(g \circ k) \circ (h \circ f) \simeq id_X$ et $(h \circ f) \circ (g \circ k) \simeq id_Z$.

Commençons par la première : $(h \circ f) \circ (g \circ k) \simeq id_X$ ? La deuxième fonctionnera exactement pareil.

Partons de $f \circ g \simeq id_Y$. Comme $k \simeq k$, on a alors (cf Félix-Tanré 1.1, référence pour moi) $(f \circ g) \circ k \simeq id_Y \circ k = k$ et comme $h \simeq h$, on a $h \circ ((f \circ g) \circ k) \simeq h \circ k \simeq id_Z$. C'est bon.

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Je note $\simeq$ la relation "avoir le même type d'homotopie".

Du coup, si $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{a;b\} \simeq X$ et $X \simeq Y$, alors $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{a;b\} \simeq Y$. Et de même, si $Y$ est du même type d'homotopie que n'importe quelle configuration de deux sphères tangentes en un point, alors l'exercice est résolu.

Montrons donc ça.

Pour montrer que $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{a;b\} \simeq X$ :

Je considère :
- la similitude de centre $(0,...,0)$ qui envoie $a$ sur $(-1,...,0)$ (composée d'une rotation et d'une homothétie)
- la similitude de centre $a$ (donc $(-1,0,...,0)$) qui envoie $b$ sur $(1,...,0)$ (composée d'une rotation et d'une homothétie)
Qui sont des transformations continues et bijectives de $\mathbb{R}^{n+1}$, donc je peux les composer et appeler la composée $f$. $f$ est un homéomorphisme, normalement, donc je peux considérer $f^{-1}$ : $f$ et $f^{-1}$ sont mes équivalences d'homotopie.

Donc $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{a;b\} \simeq X$.

Pour montrer que $X \simeq Y$ :

Je considère d'une part l'inclusion $i : Y \longrightarrow X$, et d'autre part l'application $j : X \longrightarrow Y$ qui restreinte à $Y$ est l'identité, et qui sinon est définie par :

$j(x) = \left\{ \begin{array}{} \displaystyle \frac{x - (1,0,...,0)}{\| x - (1,0,...,0) \|} \quad \text{si la première coordonnée de $x$ est strictement positive} \\ (0,...,0) \quad \text{si la première coordonée de $x$ est nulle, donc si $x$ est dans le plan tangent} \\ \displaystyle \frac{x - (-1,0,...,0)}{\| x - (-1,0,...,0) \|} \quad \text{si la première coordonnée de $x$ est strictement négative} \end{array} \right.$

En gros, elle ne touche pas les sphères, ramène "radialement" tout ce qui est d'un côté du plan tangent sur la sphère du même côté, et contracte le plan tangent sur le point de contact des deux sphères. Elle devrait être continue, mais il faudra quand même que je le vérifie en détail. Admettons.

On a clairement $j \circ i = id_Y$. Ensuite, $i \circ j$ devrait être homotope à $id_X$. J'ai ma petite idée parce que j'ai déjà vu $x \longmapsto \displaystyle \frac{x}{\|x\|}$ dans un autre exercice, mais je suis trop fatigué pour chercher ça maintenant. Il me faudra sûrement une homotopie définie par morceaux...

Pour l'instant, je m'en sors comment ?