Connexe, mais pas connexe par arcs
Pouvez-vous me trouver d'autres exemples (simples, de préférence) de parties connexes, mais pas connexes par arcs, dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ pour rester vraiment simple ? Je connais cet exemple comme tout le monde, mais j'aimerais quelque chose de "moins pathologique" si ça existe.
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Réponses
La magie est la suivante:
Le complémentaire $X$ de $p \circ f(\R)$ dans $\R^2 / \Z^2$ est connexe, mais non connexe par arcs.
La connexité est facile: on prend $q$ dans le complémentaire et on constate que $X$ est entre le connexe par arcs $\{q+p\circ f (s) \mid s \in \R\}$ et son adhérence $\R^2 / \Z^2$.
La non connexité par arcs est astucieuse: considérer $x,y \in X$ et $\gamma: [0,1] \to X$ continue telle que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1)=y$. Vu que $p$ est un revêtement, on peut relever $\gamma$ (il est de la forme $p\circ \delta$). Que se passe-t-il alors?
Je connais un autre exemple dans $\mathbb{R}^2$ : $\displaystyle\{(0,0)\} \cup [(0,1),(1,1)] \cup \left[\bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} [(1/n,0),(1/n,1)]\right]$. Ça ressemble un peu à un peigne. Le point $(0,0)$ ne peut pas être atteint par un chemin depuis un autre point. Mais j'ai peur que tu trouves que mon exemple est pathologique... (peut-être à raison)
Foys : je vais avoir besoin de temps pour décrypter ton exemple (je pense que tu surestimes mon niveau)
EDIT : Merci Poirot, c'est plus abordable ça :-D
La connexité suit de la continuité. Je n'ai pas tout compris à la preuve de mon cours sur la non-connexité par arcs, j'ai oublié de poser la question, mais je peux envoyer le scan par mp si intéressé.
@Corto : Homo Topi s'était limité aux parties de R² ou R³. Si on s'aventure dans les espaces topologiques, on doit pouvoir trouver plein d'autres exemples. J'en propose un : la topologie codénombrable sur un ensemble indénombrable.
Bon, voici un deuxième exemple, dans $\R^2$ cette fois ci. Le tipi de Cantor est un sous ensemble qui est connexe mais pas connexe par arc. C'est toujours pathologique. De façon assez amusante la non connexité par arc vient du fait que les seuls chemins du tipi sont des chemins constants.
Foys : Soit $x \in X^C$, un chemin $\gamma$ inclus dans $X^C$ et passant par $x$ est en fait forcément inclus dans $X+x$. On en déduit qu'il n'est pas possible de relier par arcs $x$ et $y$ si $x+X \neq y+X$.
Si tu te cantonnes aux parties régulières (qui disons sont localement connexes par arcs), la non connexité par arcs provient du côté "trop long" de la partie connexe concernée, comme par exemple $(x\mapsto \sin(1/x)) \cup AxeOrdonnées$. C'est un peu une tautologie d'ailleurs :-D (vue que localement "on peut", c'est que "c'est trop long").
Le problème avec $\sin\big(\frac1x\big)$ c'est plutôt que l'arc devrait tellement osciller qu'il en devient non continu.
On rencontre un autre problème avec ce peigne : si on veut atteindre $(0,0)$ par un arc, il faut à un moment prendre un virage dans l'une des branches du peigne ; mais peu importe ce moment, ce sera toujours trop tôt.
(*) En faisant un calcul "à la physicienne", la longueur de $\{(t\,\cos(\frac1t) , t\,\sin(\frac1t)) \mid t\in\,]0,1]\}$ est $$\int_0^1 |\mathrm{d}( t\,e^{\mathrm{i}/t} )| = \int_0^1 \left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} t\,e^{\mathrm{i}/t} \right|\,\mathrm{d}t = \int_0^1 \left|\left(1-\frac{\mathrm{i}}t\right) e^{\mathrm{i}/t} \right|\,\mathrm{d}t \geqslant \int_0^1 \frac1{t}\,\mathrm{d}t =\infty$$Édit : J'ai corrigé une erreur de calcul.