Connexe, mais pas connexe par arcs

Soient $a,b$ deux réels avec $b$ non nul, tels que $\frac{a}{b}$ est irrationnel. Soit $p: \R^2 \to \R^2 / \Z^2$ la projection canonique (on met la topologie finale sur le quotient et la structure de groupe quotient). Soit $f:t \in \R\mapsto (at,bt)\in \R^2$. Il est bien connu que l'image de $p\circ f$ est dense dans $\R^2 / \Z^2$.

La magie est la suivante:
Le complémentaire $X$ de $p \circ f(\R)$ dans $\R^2 / \Z^2$ est connexe, mais non connexe par arcs.

La connexité est facile: on prend $q$ dans le complémentaire et on constate que $X$ est entre le connexe par arcs $\{q+p\circ f (s) \mid s \in \R\}$ et son adhérence $\R^2 / \Z^2$.
La non connexité par arcs est astucieuse: considérer $x,y \in X$ et $\gamma: [0,1] \to X$ continue telle que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1)=y$. Vu que $p$ est un revêtement, on peut relever $\gamma$ (il est de la forme $p\circ \delta$). Que se passe-t-il alors?

Un exemple très simple est donné par la spirale $t \mapsto \left(\frac{\cos t}{t}, \frac{\sin t}{t}\right)$ à laquelle on a ajouté le point $(0, 0)$ (l'adhérence de la spirale quoi).

Mais @Poirot, $\gamma_t : x\in [0,\frac1t]\mapsto (x\cos( \frac1{x}), x\sin(\frac1{x}))$ est un chemin continu qui relie $(0,0)$ à $\left(\frac{\cos t}{t}, \frac{\sin t}{t}\right)$, non ? Donc la spirale n'est-elle pas connexe par arcs ? Ou alors j'ai fait une erreur...

Dans le style spirale, on a l'adhérence de l'ensemble des $\left((1+\frac{1}{t})\cos t, (1+\frac{1}{t})\sin t\right)$ ($t>0$). Mais ça ressemble beaucoup au truc avec la courbe de $\sin(\frac1x)$.

Le compactifié de la longue droite est connexe mais non connexe par arc. Pas sûr que ce soit moins pathologique ceci dit.

Poirot, votre exemple m'a fait pensé à un exemple de mon cours sur le même sujet. Il y a apparament tout simplement le graphe de la fonction sin(1/t): $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}^2$, $t \mapsto \left(t,\sin\left(\frac{1}{t}\right )\right)$.

La connexité suit de la continuité. Je n'ai pas tout compris à la preuve de mon cours sur la non-connexité par arcs, j'ai oublié de poser la question, mais je peux envoyer le scan par mp si intéressé.

J'ai pas trop l'impression que ce soit le côté "trop long" qui pose problème. Par exemple, la spirale dont a parlé Poirot a une longueur infinie (*) et pourtant l'origine est accessible par des arcs (cf. ceci et cela). Je me l'explique par le fait que $[0,1[$ est homéomorphe à $\mathbb{R}_+$.
Le problème avec $\sin\big(\frac1x\big)$ c'est plutôt que l'arc devrait tellement osciller qu'il en devient non continu.
On rencontre un autre problème avec ce peigne : si on veut atteindre $(0,0)$ par un arc, il faut à un moment prendre un virage dans l'une des branches du peigne ; mais peu importe ce moment, ce sera toujours trop tôt.

(*) En faisant un calcul "à la physicienne", la longueur de $\{(t\,\cos(\frac1t) , t\,\sin(\frac1t)) \mid t\in\,]0,1]\}$ est $$\int_0^1 |\mathrm{d}( t\,e^{\mathrm{i}/t} )| = \int_0^1 \left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} t\,e^{\mathrm{i}/t} \right|\,\mathrm{d}t = \int_0^1 \left|\left(1-\frac{\mathrm{i}}t\right) e^{\mathrm{i}/t} \right|\,\mathrm{d}t \geqslant \int_0^1 \frac1{t}\,\mathrm{d}t =\infty$$Édit : J'ai corrigé une erreur de calcul.