Fonctions de la longue droite vers R
Bonjour,
Les récents fils de Homo Topi ont déterré une question que je m'étais posée il y a quelque temps en lisant la page Wikipédia sur la longue droite. Je crée un fil à part pour ne pas polluer les siens.
PS: Je précise que je ne suis pas très habitué au formalisme des ordinaux, mais je crois avoir compris intuitivement ce qu'ils sont.
Merci d'avance !
Les récents fils de Homo Topi ont déterré une question que je m'étais posée il y a quelque temps en lisant la page Wikipédia sur la longue droite. Je crée un fil à part pour ne pas polluer les siens.
Pourquoi toute fonction continue de la longue droite $L$ vers $\mathbb{R}$ est constante à partir d'un certain point ?
En lisant l'article, j'ai accepté volontiers certaines propriétés sans avoir de preuve sous les yeux parce qu'elles me paraissaient raisonnables, mais j'ai du mal avec celle là. Je ne comprends pas pourquoi on ne pourrait pas avoir, par exemple, une fonction qui a des bosses entre deux ordinaux consécutifs aussi loin qu'on veut (pas entre tous les ordinaux consécutifs non plus, parce que sinon je crois qu'on va avoir des problèmes de continuité au niveau des ordinaux limites). Si vous avez une preuve et/ou une explication intuitive, je serais ravi ! :-)PS: Je précise que je ne suis pas très habitué au formalisme des ordinaux, mais je crois avoir compris intuitivement ce qu'ils sont.
Merci d'avance !
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Réponses
Peut-être qu'on peut commencer avec la "pseudocompacité" et avoir comme résultat intermédiaire que chaque fonction vers $\mathbb{R}$ est bornée ?
Soit $f : L \to \R$ une fonction croissante. On regarde la famille $(f(w,0))_{w\in \Omega}$, c'est une famille croissante de réels. On note $(u_n)_{n\in N}$ une suite croissante d'éléments de $(f(w,0))_{w\in \Omega}$ dont la limite est $\sup (f(w,0))_{w\in \Omega}$. Pour chaque entier $n$ on choisit un ordinal $w_n$ tel que $f(w_n,0) = u_n$, la suite $(w_n)_n$ est croissante et on note $l$ sa limite qui est un élément de $\Omega$. On a alors $f(l,0) = \sup (f(w,0))_{w\in \Omega} = \sup_L f < \infty$. Puisque $f$ est croissante on a obligatoirement $f(x) = f(w,0)$ pour tout $x\geq (w,0)$ donc la fonction est bien bornée et constante à partir d'un certain point.
Je pense que la démonstration est un peu du même genre pour montrer qu'une fonction continue est forcément bornée et constante à partir d'un certain rang.
Soit $f\in\mathcal{C}(L,\mathbb{R})$. On pose $\limsup f =\displaystyle\inf_{x\in L} \, \sup_{y\in L, \, y>x} f(y)$ et $\liminf f$ de même (dans $\overline{\mathbb{R}}$ a priori).
Supposons par l'absurde $\liminf f< \limsup f$. Soient $\liminf f<a<b <\limsup f$. Alors $f$ dépasse $b$ aussi loin qu'on veut et même principe pour $a$. Donc il existe des suites $(x_n),(y_n)$ à valeurs dans $L$ telles que : $\forall n, x_n < y_n < x_{n+1} \text{ et } f(x_n)<a \text{ et } f(y_n) >b$. $x_n$ et $y_n$ possède un supremum commun $s\in L$. Par continuité de $f$ en $s$, $f(s)\leqslant a<b\leqslant f(s)$. C'est absurde.
Donc $f$ possède une limite $\ell$ à l'infini de la longue droite. On a : $\forall n\in\mathbb{N}^*, \exists x_n \in L, \forall y>x_n , |f(y)-\ell| \leqslant \frac1n$. Ainsi, $f$ est constante à partir de $\sup x_n$.
Une fois ça fait ta demande dévient "facile ou triviale" car les non bornés de ton histoire sont rendus clubs par la continuité de ta fonction, donc les valeurs d'adhérence deviennent limite donc y en a qu'une donc elle est là valeur constante à partir d'un certain rang. Ceci étant dû au fait que les clubs filtrent.
Si tu aimes ces objets, tu peux étudier les clubs. Un club est une partie $A$ de $Z:=\omega_1$ vérifiant $\forall x\in Z\exists y\in A: y>x$ d'une part et d'autre part, toute borne sup d'éléments de $A$ est dans $A$.
Tu as alors une foultitude d'exercices consistant à prouver que tant que tu n'utilises pas l'axiome du choix, pour toute partie $X$ de $Z$, il existe un club $A$ tel que $A\subset X$ ou $A\cap X=\emptyset$.
L'avantage ici est que tu n'as pas "qu'un seul exercice", mais toute une pelletée de la même forme, avec de plus la satisfaction qu'il n'y a pas définition pas de preuve uniforme puisque c'est faux pour les parties $X$ de $Z$ qui sont trop complexes (fabriquées avec l'axiome du choix).
J'ai essayé de suivre ce fil silencieusement mais je n'ai pas compris ce passage.
1/ Tu regardes l'ensembles des valeurs d'adhérence.
2/ il a une borne sup et une borne inf
3/ Par continuité elles sont égales, donc il y a une unique valeur d'adhérence.
4/ Tu as donc convergence
5/ Et donc constance.
@Homo Topi : Ce qu'a écrit Corto marche aussi si $\sup f((w,0))_{w\in \Omega} =\infty$ (enfin évidemment jusqu'au moment où il écrit $\sup_L f < \infty$ :-D). Et du coup, avec ce qu'il a fait, on obtient $f((l,0)) = \sup f((w_n,0)) = \sup f((w,0))_{w\in \Omega} = \infty$. Or $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$, donc c'est absurde et on a forcément $\sup f((w,0))_{w\in \Omega}<\infty$ (et donc aussi $\sup_L f <\infty$).
Calli : Si je ne dis pas de bêtises il y a un petit oubli dans ta démonstration, la $\limsup$ et $\liminf$ pourraient être égales et infinies. Il faut donc d’abord montrer qu'une fonction continue est bornée, cela peut se faire de la façon suivante. Soit $X$ l'image de $f$ et $(u_n)_n$ une suite d'éléments de $X$ tendant vers son sup. Il existe donc une suite $(\alpha_n)_n$ d'éléments de $L$ tels que $f(\alpha_n ) = u_n$ on a alors par continuité $f(\lim \alpha_n ) = \lim f(\alpha_n) = \sup f$ et comme $\lim \alpha_n \in L$ on a bien $\sup f <+\infty$. Idem pour l'inf.
EDIT : Il faut d’abord extraire une sous-suite convergente de $(\alpha_n)$, on peut le faire comme expliqué dans mon message suivant.
Ensuite si je devais chipoter le deuxième point qui me chiffonne un peu c'est que tu utilises directement des suites dans $L$. Puisque $L$ n'est pas métrisable il n'est a priori pas sûr que l'on puisse faire tout ce que l'on veut avec des suites. Par exemple dans $\bar L$, le compactifié de la longue droite (on lui rajoute le point $\Omega$ qui s'identifie au premier ordinal non dénombrable), il n'existe aucune suite d'éléments de $L$ ayant pour limite $\Omega $ dans $\bar L$. En revanche il existe des filets d'éléments de $L$ qui convergent bien vers $\Omega$ dans $\bar L$. C'est pour cela que dans mes preuves je me contraint à regarder une suite dans $\R$ que je rapatrie ensuite dans $L$. Bon, c'est un détail et il est facile de justifier l'existence de tes suites $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ en une demi ligne en revenant à la définition de la lim sup et de la lim inf.
Dans ta preuve, l'existence de $\lim\alpha_n$ n'est pas évidente, je trouve. Si on impose que $(\alpha_n)$ soit croissante (c'est possible en la construisant récursivement car $f$ est bornée sur les segments $[0,\alpha_n] \subset L$), ça me parait plus clair. Ou alors on dit que $(\alpha_n)$ a une valeur d'adhérence dans $L$ et on regarde cette valeur à la place de $\lim \alpha_n$. Mais à part ça, je vois l'idée.
J'ai pas détaillé la construction de $(x_n)$ et $(y_n)$, mais je les construit récursivement. J'ai utilisé des suites classiques parce que ça m'arrangeait bien qu'elles aient toutes un sup $<\Omega$. Je vois pas trop ce que les filets pourraient apporter dans le cas présent.
Oui tu as raison, il manque la partie ou je prouve qu'on peut extraire une sous suite convergente de $(\alpha_n)_n$, j'ai voulu adapter trop vite la démo de mon premier message. C'est bien une erreur de ma part.
Le lemme suivant est bien pratique : Soit $X$ un ensemble muni d'une relation d'ordre totale $\leq$ et soit $(u_n)_n$ une suite d'éléments de $X$. On peut extraire une sous suite monotone de $(u_n)_n$.
Démonstration :
On note $P=\{ n\in \N : m \geq n \implies x_m \geq x_n \}$. Si $P$ est infini alors la suite extraite est simplement constituée des éléments de $P$. Si $P$ est fini alors pour tout $n \geq \max P + 1 $ il existe $m>n$ tel que $x_m < x_n$ et on construit une suite extraite (strictement) décroissante par récurrence.
On sait qu'une suite monotone d'ordinaux admet toujours une limite et la coordonnée réelle des $\alpha_n$ se traite facilement. On peut donc bien extraire une sous-suite convergente de $(\alpha_n)_n$.