Adhérence de l'ensemble des permutations de N

Bonjour à tous

En réfléchissant à un exercice sur l'ensemble des permutations d'un ensemble fini, je me suis posé le problème suivant.
Lorsque l'on travaille avec un ensemble fini ordonné (par exemple l'ensemble des entiers compris entre 1 et n), il est facile de définir la permutation qui envoie les premiers éléments sur les derniers et les derniers sur les premiers (ainsi 1 est envoyé sur n, 2 sur n-1, et ainsi de suite).
Pourtant, lorsque l'on regarde l'ensemble des permutations de N, je n'arrive pas à définir de façon simple une telle permutation (certainement parce qu'elle n'existe pas). Pour tout de même essayer d'obtenir des objets qui se rapprochent de cette permutation, j'ai essayé la méthode suivante (sans succès malheureusement) : pour n fixé, on considère la permutation qui à i entier associe n-i+1 si i est plus petit que n et i sinon. Ensuite, on tente un passage à la limite, mais encore faut-il préciser en quel sens.

Et c'est là que je bloque. Mes questions sont donc les suivantes : peut-on définir une distance sur l'ensemble des permutations de N qui rende cette suite convergente, de sorte que l'on ait construit un objet limite approchant l'objet que l'on souhaitait construire ? Si oui, quelle est l'adhérence de l'ensemble des permutations de N avec ce choix de distance ?

Si cette stratégie est vouée à l'échec cependant, existe-t-il une autre stratégie permettant d'arriver au résultat ? Et enfin (oui je sais ça fait beaucoup ^^) existe-t-il une distance privilégiée sur l'ensemble des permutations de N ?

Merci d'avance.