Exercice : connexité

On peut commencer par représenter $E$ sur un brouillon pour avoir des idées.

Une remarque : Pour la question 2, je pense que l’on munit $\mathbb R$ de la topologie usuelle (e.v.n.) mais ce n’est pas dit (comme la plupart des fois). Comme dans l’introduction « celle induite par celle de $\mathbb R^2$ (laquelle ? Encore en tant qu’e.v.n., à défaut...)

Oui, oui tu as bien raison.
Ce qui m’interpelle c’est justement qu’il s’agit d’un devoir de Topologie.
Dans toutes les autres branches, $\mathbb R$ désigne bien le corps (et pas seulement l’ensemble) et il est muni de la structure d’e.v.n. quand on en éprouve le besoin. C’est « tacite ».

Mais dans cette branche où le diable se cache nécessairement dans les détails de la topologie choisie, je trouve dommage qu’on ne précise pas ces choses.
Qu’il y ait cet implicite là, je pense que c’est une erreur.

Bien entendu j’ai mis cela en remarque.

Oui. Je parlais de besoin dans un cadre « algèbre linéaire » par exemple.
Mais en effet je ne pense jamais à la topologie de l’ordre naturellement.

Mon discours était dans un cadre général.
Par exemple le groupe $\mathbb R$ (avec l’addition) etc.