Fermé d'un complet

C'est une affaire de définition. Je t'aide :

On suppose $E$ fermé dans $F$, et on veut montrer que $E$ est complet. Soit $(u_n)_n$ une suite de Cauchy dans $E$. Alors... Donc la suite $(u_n)_n$ converge dans $E$.

On suppose $E$ complet, et on veut montrer que $E$ est fermé dans $E$. Soit $(u_n)_n$ une suite d'éléments de $E$ qui converge dans $F$. Alors... Donc la limite de $(u_n)_n$ est dans $E$.

Ben dis donc, tu es réactif quand il s'agit de demander de l'aide, toi.
D'une part: l'adhérence d'une suite à valeur dans un fermé est nécessairement incluse dans le fermé (utilise la définition de l'adhérence d'une suite, tu dois la connaître, c'est cette intersection d'adhérences de parties composées dont les éléments sont tous les termes de la suite à partir d'un certain rang). Deux: dans un espace métrique, ce n'est vraiment pas compliqué de montrer qu'une partie qui n'est pas fermée n'est pas complète: si la partie n'est pas fermée, il y a un élément qui se trouve à une distance nulle de la partie en question sans lui appartenir, tu peux donc construire une suite de Cauchy d'éléments de la partie qui va tendre vers cet élément.

edit tu as vu AD? Ça ne doit pas être tout-à-fait ça, mais je fais des efforts pour la grammaire!

Résultat déjà sur le forum en plus ...