Espace vectoriel normé

@lemaire1995 ce résultat (à connaître) te permettra de résoudre l'exercice : une forme linéaire est continue ssi son noyau est fermé.

Une algèbre de Banach sur un corps quelconque ou sur $\mathbb{C}$ ? Unitaire ou pas ?

EDIT : les deux hypothèses sont inutiles, j'ai trouvé un cours avec une démonstration. Cela dit, ils démontrent plus que ça, ils démontrent que c'est continue et de norme $\leqslant 1$, ce qui aide un peu plus à trouver ce qu'il faut faire pour démontrer la continuité.

@raoul.S : tu vas rire, je n'avais quasiment rien foutu cette année-là. (Bon, d'accord, je n'en étais pas à mon coup d'essai). J'avais un peu bossotté pendant le 1er trimestre, et aussi un peu après avoir appris que j'étais admissible (c'est ça mon problème, je ne suis pas bon à l'écrit).
À l'oral j'avais cartonné en algèbre (Exemples de corps, et j'avais démontré le théorème des zéros de Hilbert), donc je suis arrivé relativement zen en analyse. Quand j'ai vu le sujet je me suis frotté les mains car j'avais suivi le cours de Brezis 8 ans avant... ça aide.
Néanmoins je suis tombé sur les fesses quand j'ai vu ma note (69/80). C'est là que j'ai compris pourquoi le jury m'embêtait tant avec des exos difficiles : j'avais déjà une très bonne note, et ils voulaient savoir jusqu'où je pouvais aller.
Je suis peut-être un grand rêveur (ou alors complètement parano), mais après coup j'ai eu l'impression qu'ils étaient tellement contents après l'épreuve qu'ils se sont retenus pour ne pas me serrer la main (ça se fait pô). Bon, je dis ça, c'est peut-être juste dans ma tête...

homotopi a écrit:

les deux hypothèses sont inutiles

$E'$ n'est en général pas le dual de $E$ mais seulement l'ens de ses formes linéaires continues. Penses-tu parvenir à inclure un sous-espace dense dans un noyau de forme linéaire non nulle et continue? :-D