Démonstration idéale du théorème de Tykhonov
Bonsoir à tous,
Voici la preuve algébrique du théorème de Tykhonov que j'ai évoquée au détour d'une discussion et que plusieurs personnes ont demandé à voir.
Cordialement
PS: Ce n'est pas moi qui dis qu'elle est idéale, c'est son auteur.
Voici la preuve algébrique du théorème de Tykhonov que j'ai évoquée au détour d'une discussion et que plusieurs personnes ont demandé à voir.
Cordialement
PS: Ce n'est pas moi qui dis qu'elle est idéale, c'est son auteur.
Réponses
-
J'en ai déjà postées des bien mieux :-D y a vraiment des gens qui fument le parquet ... De toute façon. elles consistent toutes à faire la même chose alors appeler ca idéal max ou ultrafiltre franchement..
À noter que Tychonov => axiome du choix entièrement (et c'est facile pas d'inspiration nécessaire) donc de toute façon la preuve ANS restera la plus courte.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
christophe c a écrit:J'en ai déjà postées des bien mieux :-D
Tu peux mettre un lien, s'il te plaît ? Je n'ai pas trouvé avec le moteur de recherche du site (et je pense avoir essayé toutes les orthographes possibles de Tykhonov). J'espère que tes preuves sont abordables.
L'intérêt de la preuve ci-dessus c'est son originalité, sa brièveté et le fait qu'elle nécessite peu de pré-requis. -
De mon téléphone et mon lit. Je te ferai ça demain.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
CC a écrit:J'en ai déjà postées des bien mieux :-D y a vraiment des gens qui fument le parquet ...
Ça va les chevilles ?
Je ne suis pas dans la tête de l'auteur (J.F. Ruaud) mais je pense que le choix de l'adjectif "idéale" est un simple jeu de mot sur les outils que fait intervenir la démonstration... -
:-D ce qu'on est sérieux sur ce forum :-D
Ça me fait penser à un truc que j'ai lu dans un petit livre de Rolland Jaccard.
2 philosophes se promènent et voient un plan d'eau avec des poissons.
" Ils ont l'air heureux ces poissons
- qu'est ce que vous en savez , vous n'êtes pas poisson?
- qu'est-ce que vous en savez, vous n'êtes pas moi?"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Haha.
Cher Christophe, tu avoueras que de balancer « J'en ai déjà postées des bien mieux [smiley] y a vraiment des gens qui fument le parquet ... » ne peut être ressenti que comme une agression. Sauf à te « pratiquer » régulièrement, dans le meilleur des cas on se dit « mais qu’est-ce qu’il a ce c....ard ?! ». Alors imagine si, en plus, les susceptibilités sont exacerbées.
C’est le forum, l’écrit, le manque de ton, etc.
Cela dit, propose ton papier d’une manière académique (sans détour, ni métaphore, ni blague, ni astérisque, ni ressenti, ni couleur, ni grande police de caractère, ni tout ça...) pour que chacun s’en donne à cœur joie. Ou pas d’ailleurs.
Au plaisir. -
Je ne me rappelle plus si je t'ai souhaité une bonne année en tout cas je le fais maintenant entre 2 tramways plus que bondés. Et oui du lycée je poserai une énième preuve. T'inquiète. Et je pense que l'expression "fumer le parquet" montre le côté affectif et humour je peux me tromper. En fait je voulais surtout la caser (compulsion comme quand une peluche sur le pull de quelqu'un te saoule) avant tout pour "m'en débarrasser".
De toute façon je ne faisais aucun reproche à Corto sa remarque était normale et cohérente mais.. il a spoile la blague donc j'espère que ça ne fera pas baisser l'envie de cliquer sur le lien.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
"J'en ai déjà postées des bien mieux" $\mapsto$ faux
"Y a vraiment des gens qui fument le parquet" $\mapsto$ vrai. En effet, une preuve de "il existe tel que..." consiste en une exhibition d'un fumeur de parquet.
Quant à "propose ton papier d’une manière académique", une induction basée sur les cas précédents suggère que le résultat sera
soit rien, rejoignant ainsi la perfection divine par sa non-existence
soit un patakès encombré de détours, de métaphores, de blagues, d'astérisques, de ressentis, de couleurs, de grandes polices de caractères... et tout cela pour finir par déclarer que l'honorable parqueteur n'a toujours pas lu le bouquin d'Abraham Robinson ni avant ni après l'avoir commenté abondamment.
Cordialement, Pierre -
Bon comme promis, mais je viens de filer un exo sur les pourcentages à ma classe, et je ne peux pas non plus passer 15mn à taper ce post. J'essaie den 7-8mn.
1/ Tout d'abord, je pense que l'important c'est de comprendre pourquoi l'approche naive et non inspirée ne marche pas. C'est dû à l'inclusion stricte que de $f[A\cap B]$ dans $f[A] \cap f[ B ]$ qui se produit la plupart du temps.
2/ Tycho est équivalent à l'axiome du choix (AC) et le sens trivial est Tycho => AC. Il faut donc avoir conscience qu'à moins d'espérer une contradiction dans ZF, il faudra se servir de AC.
3/ Je rappelle que l'ANS donne une preuve de 3 lignes: soit $x$ dans aucun ouvert standard. Pour chaque $i$ standard, soit $a(i)$ std superproche de $x(i)$. On peut considérer que $a$ est std. Alors on a $a$ superproche de $x$. Or $a$ est dans un ouvert std qui contiendra $x$, contradiction.
4/ La preuve ANS se recopie presque mot à mot en remplaçant des mots, avec des ultrafiltres.
5/ Le pdf mis en lien qui introduit la vocabulaire "anneaux commutatifs" fait la mêrme chose en un peu plus lourd
6/ Je donnerai une preuve rédigée plus tard. Je me contente de détailler un peu plus 1 et 2
7/ Plutôt qu'aller s'occuper d'un produit usine à gaz, on peut voir la question comme suit:
7.1/ Un ensemble $E$, et une famille $(i\in J \mapsto T_i)$ de topologies sur $E$ toute quasicompacte.
7.2/ THE big lemme est que tout àa ce n'est pas une question de topologies, au titre que: pour tout $S\subset P(X)$ si $S$ est "quasicompacte" alors la topologie engendrée par $S$ sur $X$ l'est
7.3/ On semble donc confronté à "toute réunion de topologies quasicompacte est quasicompactes", ce qui est bien entendu faux.
7.4/ .. mais qui est vrai quand les topologies sont indépendantes entre elles.
7.5/ Ce que j'abrège par: pour toute famille $i\mapsto u_i$, il existe $v\in E$ tel que pour tout $i: u_i==v$ au regard de $T_i$
7.6/ Supposons maintenant qu'un recouvrement ouvert $R$ soit sans recouvrement fini, $R$ étant inclus dans la réunion des $T_i$. Soit, pour chaque $i, x_i$ qui n'est dans aucun élément de $R\cap T_i$. Soit $v$ from 7.5. Alors $v$ est dans un élément $U$ de $R$, qui est dans au moins un des $T_i$, contradiction avec le fait que $u_i$ n'y est pas.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je reviens avec plus de temps qu'écrire tout en gérant 35 secondes sur des calculs de pourcentages.
1/ Lemme1: un espace est quasi-compact ssi tout ultrafiltre a au moins une limite (e est une limite de L quand tout ouvert qui contient e est un élément de L).
Preuve: seul sens non trivial, soit $R$ un recouvrement sans SRF, prendre un ultrafiltre $W$ qui contient tous les complémentaires des éléments de $R$, $a$ une limite de $W$, contradiction avec $U\in R$ tel que $a\in U$.
2/ Corollaire: Tychonov est vrai quand axiome du choix.
Preuve: soit $R$ un recouvrement sans SRF dans le produit $Q$ des espaces quasicompacts concernés, prendre un ultrafiltre $W$ qui contient tous les complémentaires des éléments de $R$. Pour chaque projection $p_i$, prendre une limite $a_i$ de $p_i<W>$. Soit $U\in R$ tel que $a\in U$. Alors $a$ est une limite de $W$ contradiction
3/ Notations précédentes: un ultrafiltre $W$ sur $E$ est un ensemble stable par intersections finies et surensembles, ne contenant pas $\emptyset$ et tel que $\forall X\subset E: X\in W$ ou $E\setminus X\in W$. Pour un tel ultrafiltre si $f: E\to F$, $f<W> := \{Y\subset F \mid \{x\in E\mid f(x)\in Y\} \in W\}$. Un Ultrafiltre est un filtre maximal. Zorn => tout filtre est inclus dans au moins un ultrafiltre.
4/ En fait un ultrafiltre est une carte d'identité pour un élément virtuel, en ce sens que c'est un morphisme de $E\to 2$ dans $2$ pour les opérations $non; \cap; etc$. Et quand $f: E\to F$, avec $\phi$ un tel morphisme alors $f<\phi>$ désigne juste $Y\mapsto \phi(Y\circ f)$ tout comme, pour un "vrai" élément de $E$, on a que $j(a): X\mapsto X(a)$ est un ultrafiltre, et que $f<j(a)> = j(f(a))$.
5/ Je passe maintenant à une explication plus précise sur ce que j'ai raconté à mon post précédent.
6/ Soit $P$ le produit des $E_i$ quand $i$ parcourt $J$ et $p_i$ les projections de $P$ sur $E_i$.
7/ Soit $T_i$ l'ensemble des images réciproques d'ouverts de $E_i$ par $p_i$. Chaque $T_i$ est une topologie quasi-compacte sur $P$.
8/ Mais cette famille a surtout la propriété ESSENTIELLE suivante:
Pour tout élément $e\in P^J$, il existe $a\in P$ tel que $\forall i\in J: a=_i e(i)$.
où $x=_iy$ signifie $\forall U\in T_i: U(x)=U(y)$
Voilà ce qu'il se passe vraiment quand on assume de faire des maths et ne considère pas les indices comme de la métamathématique obligatoire et taboue.
9/ Par ailleurs, et je recommande de faire soigneusement l'exercice, pour tout $E$ et toute ensemble $S$ de parties de $E$, si $S$ a la propriété du sous-recouvrement fini, alors la topologie engendrée par $S$ aussi
10/ Le point9 est un point qui me semble vraiment important dans la façon de laisser ou pas anonymes certaines étapes.
11/ Tychonov est trivial à partir du point 9 dans le sens que le théorème suivant est trivial à partir du point 9.
Théorème11: soit $i\mapsto T_i$ une famille de topologies sur un ensemble $E$ vérifiant la propriété de (8). Alors si elles sont toutes quasicompactes alors la topologie engendrée par leur réunion l'est aussi.
On a que:
(9) => Théorème11 est trivial
Théorème11 => Tychonov est trivial
(9) extirpe et nomme une propriété "d'indépendance" qui me parait importante car on la rencontre aussi souvent en probas.
J'en donnerai une correction, mais je recommande de chercher sans aide à prouver (9) (qui se fait en 3 lignes à coups d'ultrafiltres).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Rappel aussi de la preuve que Tycho => AC.
Soit $K:=(i\in J\mapsto E_i)$ une famille d'ensembles non vides et $a\notin$ la réunion de $K$.
Pour chaque $i$, prendre la topologie sur $F_i:=E_i\cup \{a\}$ engendrée par $\{a\}$.
Sur le produit $P$ de ces espaces quasicompacts $F_i$, la famille des ouverts $i\mapsto U_i := \{x\in P \mid x(i)=a\}$ n'a pas de sous-recouvrement fini, donc ne recouvre pas $P$. Un élément en dehors de tous les $U_i$ est une fonction choix pour cette famille.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@dom: AR s'y prend mal et a fait ça à chaud dans les années 70. Les bonnes versions ont très largement simplifié les choses. J'ai deja donné souvent les 3 axiomes de l'ANS. Je te déposerai ça d'un PC. Mais en gros si tu manipules les ultrafiltres l'ANS n'edt pas forcément une priorité. De mon côté si je l'utilise c'est parce que je l'ai découverte seul dans son état le plus abouti parce qu'elle correspondait tout bêtement à mes névroses infinitistes intérieures. Mais son usage ne raccourcit pas "tellement" un usage classique des ultrafiltres. Par contre ni l'un ni l'autre implique souvent des usines à gaz de 300 pages pour dire ce qui se dirait en 3 (c'est le domaine de la science où c'est le plus spectaculaire) ceci provenant que les filtrations indicées varie comme exponentielle from l'équivalent ANS. C'edt bien pour faire clin d'oeil à ça que j'ai exprès mis mon énoncé 9 intermédiaire.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Ok.
Je ne sais pas du tout ce que sont les ultrafiltres.
J’ai croisé ça en Licence (L3 aujourd’hui) dans un livre de théorie de la mesure.
C’était avec la mention « on peut passer ce truc en première lecture ».
Comme c’était écrit en petits caractères, j’ai acquiescé à cette requête et n’ai pas relu le bouquin pour éviter une seconde lecture ;-).
Bon, j’avais lu un peu sans lire, comme la majorité des élèves : on lit les mots mais sans comprendre les phrases, on fait semblant. -
C'est un des objets les plus cruciaux et fondamentaux (au sens fonder).
Je pense que tu es d'accord qu'en renommant $\cup$ par $\times$ et $\iff$ (**) par $+$, on fait de $(P(E), \times, +)$ un anneau.
Et bien un ultrafiltre est juste un idéal maximal de cet anneau. Et ça le conduit à être stable par $\cap$ (je te laisse ça en exercice si tu veux, si tu le fais, je termine ton initiation). Et exercice2: Prouve que dans cet anneau les idéaux premiers sont obligatoirement maximaux.
Autre présentation: quand tu as un élément $a$ de $E$, tu as aussi avec la fonction $h:=j(a)$ qui envoie $F_2^E$ dans $F_2$ et qui vérifie $\forall A,B$ que $h(A\cup
= h(A)\cup h(B)$ et idem avec $+$ et $\cap$ (même si je n'ai pas mis $\cap$ dans la conversation.
Et bien un ultrafiltre c'est une $h$ qui fait ça, sans être de la forme $j(a)$ forcément. Quand il l'est on dit qu'il est principal (ou trivial).
Avec les ultrafiltres, il n'y a pas de topologie générale non triviale. Donc si tu passes à côté...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je note ça sur mon carnet de procrastination involontaire.
Ce n’est pas une blague, j’ai une tonne de choses urgentes (pas d’inquiétude ma vie n’est pas non palpitantes du tout ;-)).
En gros, merci bien pour ces précisons et exos. -
Je te redonne les axiomes de l'ANS. C'est très court.
Toutes les maths s'écrivant avec 3 symboles $(\to; \forall; \in)$, tu en rajoutes un avec le signe "std". Bon, c'est un mot, mais peu importe.
Tu as ensuite 3 sortes pour les phrases (écrites avec des lettres sans préciser leurs valeurs):
Celles qui ne contiennent pas ce signe, partagées en 2 groupes (je les appelle "internes")
Celles qui le contiennent (je les appelle "externes")
Les axiomes sont les suivants:
1/ Pour tout $a$ std et toute $R$
il existe $b$ std tel que $\forall^s x\in a$, tout $y$ std, si $R(x,y)$ alors $R(x,b(x))$
2/ Pour toute $R$ interne, si pour tout ensemble à la fois fini et std $F$, il existe $x$ tel que $\forall y\in F: R(y,x)$ alors il existe $x$ tel que pour tout $y$ qui est std : $R(y,x)$
3/ Pour toute $R$ à la fois interne mais aussi dont les valeurs des paramètres sont toutes std, si $\forall^s xR(x)$ alors $\forall xR(x)$.
$\forall^sxP(x)$ est juste une abréviation de $\forall x: [$ si $x$ est std alors $P(x)]$
Je te prouve par exemple le lemme9 dont j'ai dit qu'il est primordial dans mon post sur Tycho. On a $E$ un ensemble qui est std et une partie $S$ de $P(E)$, std elle aussi et qui a la propriété du recouvrement fini.
Soit $T$ l'ensemble des intersections finies d'éléments de $S$ (qui est std donc) engendrée par $S$, et $R$ un recouvrement std par des éléments de $T$ sans sous rec fini.
D'après (2), il existe $x\in E$ tel que $\forall^s U\in T: x\notin U$. Il suit que pour chaque $U$ qui est std, et comme c'est une intersection finie d'éléments de $S$, il y a $f(U)\in S$ un des items de ladite intersection tel que $x\notin f(U)$, avec par (1), $f$ std. Par conséquent la famille $U\mapsto f(U)$ n'a pas de sous-recouvrement fini, contradiction
Les usages de (3) sont nombreux et implicites.
Exercice : prouve que si un ensemble ne contient que des éléments std alors il est à la fois fini et std.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Chercher "internal set theory" d'Edward Nelson sur le web.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Si $(X,\tau)$ désigne un espace topologique et $x\in X$ un élément, on peut considérer qu'un "élément superproche de $x$ dans $X$" est un ultrafiltre $\mathcal U$ de $X$ convergeant vers $x$ (i.e. contenant tous les voisinages de $x$).
Si $E,F$ sont des ensembles, $g:E\to F$ une fonction et $\mathcal U$ un ultrafiltre, l'ensemble des $\overline g (\mathcal U) := \{A\subseteq F \mid \exists B\in \mathcal U, g(B) \subseteq A\}$ est encore un ultrafiltre.
Compte tenu du théorème des ultrafiltres (dans tout ensemble, tout filtre est contenu dans un ultrafiltre)) et du lemme suivant (exo): (L) dans tout ensemble $E$, tout filtre est l'intersection des ultrafiltres qui le contiennent, on peut récupérer l'essentiel des énoncés dits "ANS" à la CC avec ça.
Par exemple:
1°) Soient $(X,\tau)$, $(Y,\upsilon)$ deux espaces topologiques, $x\in X$, $g:X\to Y$ une fonction. Alors $g$ est continue en $x$ si et seulement si $\overline g$ envoie tout élément superproche de $x$ dans $X$ sur un élément superproche de $g(x)$ dans $Y$.
2°) L'adhérence d'une partie $A$ de $X$ est constituée des éléments $t$ de $X$ tels qu'il existe un ultrafiltre de $A$ superproche de $t$.
3°) Un espace topologique est quasi-compact si et seulement si tout ultrafiltre y est convergent. On peut en déduire Tychonov en raisonnant composante par composante sur le produit.
4°) Une fonction continue $f:X\to Y$ entre espaces topologiques est dite propre si pour tout $x\in X$ et tout ultrafiltre $\mathcal U$ de $X$, si$\overline f (\mathcal U) $ est superproche de $f(x)$ alors $\mathcal U$ est superproche de $x$.
Si $X$ et $Y$ sont localement compacts, $f$ est propre si et seulement si pour tout compact $K$ de $Y$, $f^{-1}(K)$ est compact.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Exercice: s'entraîner à dicter à son téléphone
$\forall^{st}\widetilde\epsilon\exists^{st\,fin}x'_0\forall x \exists x_0 \in x'_0 \left[\left|x-x_0\right|\leq\widetilde\epsilon (x_0) \right]$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 45
+39 Invités