Si "espace discret" signifie que l'ensemble $E$, est muni de la topologie $P(E)$ de ses parties, oui.
Mais si je prends $n\in\mathbb{N}^\ast$, $E = \{1,\cdots,2n\}$, muni de la topologie $T$ engendrée par les $\{k,k+1\}$, pour $k\in\{1,3,\cdots,2n-1\}$, $u = 1$, et $v = 2$, existe-t-il des ouverts $U,V\in T$ disjoints tels que $u\in U$ et $v\in V$ ?
Et si je prends n'importe quel $E$, muni de la topologie $\{\emptyset, E\}$ ?
Je souligne ce point, car ça n'a rien à voir avec le fait d'être un ensemble fini ou dénombrable.
Réponses
Sachant que dans un espace discret les singletons sont des ouverts est-ce que tu arrives à trouver deux ouverts $U$ et $V$ comme ci-dessus... ?
(il est discret et séparé une fois qu'on remplace $E$ par l'ensemble de ces plus petits ouverts)
Ton ensemble $E$ doit être séparé, parce que $E$ muni de la topologie grossière vérifie ta condition.
Alain
Mais si je prends $n\in\mathbb{N}^\ast$, $E = \{1,\cdots,2n\}$, muni de la topologie $T$ engendrée par les $\{k,k+1\}$, pour $k\in\{1,3,\cdots,2n-1\}$, $u = 1$, et $v = 2$, existe-t-il des ouverts $U,V\in T$ disjoints tels que $u\in U$ et $v\in V$ ?
Et si je prends n'importe quel $E$, muni de la topologie $\{\emptyset, E\}$ ?
Je souligne ce point, car ça n'a rien à voir avec le fait d'être un ensemble fini ou dénombrable.
Ton exemple, F.h vérifie-t-il cette définition ?
Cordialement.