Connexité de l'adhérence
dans Topologie
Bonjour à tous et meilleurs vœux pour cette année 2020. Cela fait un moment que je ne suis pas passé par là je suis content de vous retrouver :-)
J'ai à vous présenter une démonstration du fait que l'adhérence d'un connexe $A$ de $\R^n$ est connexe, j'ai un doute que je vous expliciterai le moment venu. Voici la preuve (notations classiques) :
Soit $f:\overline{A}\rightarrow \{0,1\}$ une application continue. La restriction de $f$ à $A$ est constante, disons identiquement nulle, car $A$ est connexe. Soit $x\in \overline{A}$. Par continuité de $f$, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $y\in A$, $\lvert x - y \rvert < \eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < 1/2$. Il existe $y\in A$ tel que $\lvert x - y \rvert < \eta$ car $x$ est dans l'adhérence de $A$. On a donc $|f(x) - f(y)|< 1/2$, i.e $|f(x)|<1/2$, d'où $f(x) = 0$. Cela montre que $f$ est constante.
Mon doute vient du fait que je n'ai pas utilisé la distance discrète dans $\{0,1\}$, mais j'ai quand même l'impression que l'idée est là. Merci d'avance de vos réponses.
J'ai à vous présenter une démonstration du fait que l'adhérence d'un connexe $A$ de $\R^n$ est connexe, j'ai un doute que je vous expliciterai le moment venu. Voici la preuve (notations classiques) :
Soit $f:\overline{A}\rightarrow \{0,1\}$ une application continue. La restriction de $f$ à $A$ est constante, disons identiquement nulle, car $A$ est connexe. Soit $x\in \overline{A}$. Par continuité de $f$, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $y\in A$, $\lvert x - y \rvert < \eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < 1/2$. Il existe $y\in A$ tel que $\lvert x - y \rvert < \eta$ car $x$ est dans l'adhérence de $A$. On a donc $|f(x) - f(y)|< 1/2$, i.e $|f(x)|<1/2$, d'où $f(x) = 0$. Cela montre que $f$ est constante.
Mon doute vient du fait que je n'ai pas utilisé la distance discrète dans $\{0,1\}$, mais j'ai quand même l'impression que l'idée est là. Merci d'avance de vos réponses.
Réponses
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Beh si tu as utilisé la distance qui est telle qu $d(0,1) = 1$, c'est bien la distance discrète.
Si tu préfères, en termes topologiques, pour bien voir la topologie discrète apparaître (et pour que ça marche pour tout $X$, pas juste $\R^n$) : $f$ est continue, donc $f^{-1}(\{(f(x)\})$ est ouvert (car $\{f(x)\}$ est ouvert dans la topologie discrète), et contient $x$, donc il contient un élément de $A$; donc $f(x)=0$.
En fait tu remarqueras que ça marche un poil plus généralement (ça sert parfois) : si $A\subset B \subset \overline A$ et $A$ est connexe, alors $B$ aussi. C'est la même preuve. -
Merci Max.
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Salut
J'ai une autre preuve dans un cadre plus général mais je ne sais pas si c'est vrai !!
Dans un espace topologique si A est connexe alors son adhérence l'est .
soit f: adh(A) ---> {0.1} continue,
pour chaque x dans adh(A) on a f(x) appartient à f(adh(A)) qui est inclus dans adh f(A), car f est continue. Or A est connexe donc f(A) est constante disons égale à {1} par exemple, donc f(x )=1 quel que soit x.
D'où Adh A est connexe.
Cordialement. -
Salut
Si vous voulez me dire si ce que j'ai écrit est juste (:D -
(tu)
-
:-) Merci
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