Connexité de l'adhérence

Bonjour à tous et meilleurs vœux pour cette année 2020. Cela fait un moment que je ne suis pas passé par là je suis content de vous retrouver :-)
J'ai à vous présenter une démonstration du fait que l'adhérence d'un connexe $A$ de $\R^n$ est connexe, j'ai un doute que je vous expliciterai le moment venu. Voici la preuve (notations classiques) :

Soit $f:\overline{A}\rightarrow \{0,1\}$ une application continue. La restriction de $f$ à $A$ est constante, disons identiquement nulle, car $A$ est connexe. Soit $x\in \overline{A}$. Par continuité de $f$, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $y\in A$, $\lvert x - y \rvert < \eta \Rightarrow \lvert f(x) - f(y) \rvert < 1/2$. Il existe $y\in A$ tel que $\lvert x - y \rvert < \eta$ car $x$ est dans l'adhérence de $A$. On a donc $|f(x) - f(y)|< 1/2$, i.e $|f(x)|<1/2$, d'où $f(x) = 0$. Cela montre que $f$ est constante.

Mon doute vient du fait que je n'ai pas utilisé la distance discrète dans $\{0,1\}$, mais j'ai quand même l'impression que l'idée est là. Merci d'avance de vos réponses.