Un ensemble d'intérieur non vide ou pas ?

callipiger · January 2020

Bonsoir,
je me suis donné le problème suivant.

Rst-ce que l'image de $$

(x,y) \in S^1 \times S^1 \mapsto x+R(y),$$ où $R$ est une rotation, est d'intérieur non vide ?

A priori c'est une réunion de cercles qui en coupent toujours un autre en un point ou deux.
Je pense que la réponse est oui mais je ne sais pas le prouver
Merci pour vos suggestions.

Je sais que l'ensemble est connexe par arc par définition... et c'est tout

Maxtimax · January 2020

D'intérieur non vide dans quoi ? à valeurs dans quoi définis-tu ta fonction ?

callipiger · January 2020

d'intérieur non vide dans son espace affine engendré (c'est un plan)

en fait tous les cercles sont dans le même plan
et on reste dans le plan

est ce que le théorème d'invariance du domaine permet de conclure ?
quelque part : par tous les points intérieurs passe une famille continue de cercles et par chaque cercle passe une droite tangente au cercle, dont c'est un peu un domaine "étoilé " dans tous les directions
(désolé pour cette formulation vaseuse)

Siméon · January 2020

Si j'ai bien compris ta définition, L'image est un disque de rayon 2.

callipiger · January 2020

si on prend l'image de deux disques oui
mais en fait c'est la somme de Minkowski d'ensemble non convexes
donc je n'ai aucune idée de ce que ça donne (et si un programme donne une idée, tout étant pixelisé...:-S)
ps: ce n'est pas pour être pédant mais j'ai survolé l'article wikipedia et ça me parait bien de dire les choses en peu de mots, ensuite je dois peut-être expliciter mieux l'article Wikipédia

Siméon · January 2020

Je parlais bien de la somme de Minkowski de deux cercles : le cercle unité $\mathbb S^1$ du plan euclidien et son image $R(\mathbb S^1) = \mathbb S^1$ par la rotation $R$ (en la supposant centée en l'origine). L'inclusion de cette somme dans le disque de rayon $2$ est évidente et, pour tout vecteur $u$ de norme $\|u\| \leqslant 2$, le cercle unité $\mathbb S^1$ intersecte le cercle de rayon $1$ centré en $u$, donc il existe $x \in \mathbb S^1$ et $y \in \mathbb S^1$ tels que $x = u - y$.

callipiger · January 2020

alors ! merci (tu)

Un ensemble d'intérieur non vide ou pas ?

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