Intersection dénombrable d'ouverts denses

Twisted_Fate · January 2020

Salut , dans un espace vectoriel normé, (dans l'exercice où j'ai trouvé ce résultat employé, E était un espace de Banach). Je veux une preuve que l'intersection dénombrable d'espaces ouverts denses l'est encore.
Est-ce que quelqu'un peut me donner ou guider pour démontrer ce résultat, si il est juste, s'il vous plaît ? (:D

Magnolia · January 2020

Bonjour

Sur ce site cherche "théorème de Baire"

Twisted_Fate · January 2020

Oui , C'est exactement le théoréme utilisé ...
Merci (:D

Poirot · January 2020

Attention, l'intersection en question est dense mais n'a aucune raison d'être un ouvert.

Maxtimax · January 2020

Et le mot Banach est essentiel dans cette affaire. Si tu ne sais pas ce que ça veut dire, tu peux commencer par prendre $E$ de dimension finie.

Prends par exemple $E= \mathbb R[X]$ muni de n'importe quelle norme, et $U_n = E\setminus \mathbb R_n[X]$. Alors $U_n$ est un ouvert dense, mais l'intersection des $U_n$ est plutôt vide.

fonction.holomorphe · January 2020

Et bien-sûr, $E = \mathbb{R}[X]$ n'est jamais complet pour aucune norme, puisqu'il a une base dénombrable $(1,X,X^2,\cdots)$ : (wikipedia)

Poirot · January 2020

@fonction.holomorphe : la preuve se trouve juste au-dessus de ton message :-D

Smith · January 2020

Autrement aucun polynôme de degré $3$ ne peut converger (pour une norme $N$) vers un polynôme de degré $5$ par exemple ? C'est marrant.

Maxtimax: tu montres que $U_n = E\setminus \mathbb R_n[X]$ est un ouvert dense pour n'importe quelle norme ? Ou tu fais quand même le choix d'une norme explicite ? Je ne vois pas comment montrer que $ \mathbb R_n[X]$ est fermé sans me donner une norme explicite.

Poirot · January 2020

@Smith : Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé, c'est une conséquence facile de l'équivalence des normes en dimension finie.