Un tout petit peu surjective

Joaopa · January 2020

Soit $u:E\mapsto E$ une application $\mathbb R$-linéaire et contractante de $E$ (avec $E$ un Banach).
Est-ce qu'il existe une boule $B(0,r)$ ($r\ne0$) de $E$ telle que $B(0,r)\subset f(E)$?

Merci d'avance.

Riemann_lapins_cretins · January 2020

Ton truc veut dire surjectif tout court dans le cas d'une application linéaire.
Et évidemment, non.

Math Coss · January 2020

Contre-exemple à bas prix (en supposant que $u=f$) : l'application nulle.

Riemann_lapins_cretins · January 2020

L'auteur suppose une application non nulle, mais à deux variables f(x,y) = (x/2,0) suffit par exemple.

Un tout petit peu surjective

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