Exercice 1.3 du Félix-Tanré

J'avais du mal à faire ça depuis avant, j'ai une feuille devant moi remplie d'informations et je m'y suis perdu.


- on relie $y_0$ à $(f \circ g)(y_0)$ en appliquant $k_0 : [0,1] \longrightarrow Y$, $t \longmapsto K(y_0,1-t)$ qui est continue.
On a $k_0(0)=y_0$ et $k_0(1)=(f \circ g)(y_0)=f(g(y_0))$.

- on relie $x_0 = g(y_0)$ et $x_1 = g(y_1)$ par une application continue $u : [0,1] \longrightarrow X$ telle que $u(0)=x_0$ et $u(1)=x_1$.
$u$ existe car $X$ est connexe par arcs.
Ensuite, $(f \circ u) : [0,1] \longrightarrow Y$ est continue et vérifie $(f \circ u)(0)=f(x_0)=(f \circ g)(y_0)$ et $(f \circ u)(1)=f(x_1)=(f \circ g)(y_1)$.

- on relie $(f \circ g)(y_1)$ à $y_1$ en appliquant $k_1 : [0,1] \longrightarrow Y$, $t \longmapsto K(y_1,t)$ qui est continue.
On a $k_1(0)=(f \circ g)(y_1)$ et $k_1(1)=y_1$.


Définissons donc $v : [0,1] \longrightarrow Y$, $t \longmapsto \left\{ \begin{array}{cc} k_0(3t) \quad \text{si} \quad 0 \leqslant t \leqslant 1/3 \\ (f \circ u)(3t-1) \quad \text{si} \quad 1/3 \leqslant t \leqslant 2/3 \\ k_1(3t-2) \quad \text{si} \quad 2/3 \leqslant t \leqslant 1 \end{array} \right.$

Alors $v$ est continue, et on a $v(0)=k_0(0)=y_0$ et $v(1)=k_1(1)=y_1$. Merci (:D