Compacité dans R²

Boble
Boble
dans Topologie
Bonjour,
on me demande de prouver que R2 muni de la distance SNCF n'est pas localement compact.
Il y a beaucoup de théorèmes, une piste ?

Réponses

  • Boble
    Boble
    Bien sûr R2 muni de la topologie usuelle est compact comme produit fini de compact mais la il y a probablement une évidence qui ne me saute pas aux yeux.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Boble a écrit:
    Biensur R2 muni de la topologie usuelle est compact

    Horreur, horreur ! R² est localement compact, mais pas compact.
    Prends un voisinage ferroviaire de l'origine et essaie de construire une suite dans ce voisinage non SNCF-convergente.
  • Boble
    Boble
    Oui pardon il manquait le mot localement. Merci
  • Boble
    Boble
    Calli écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1951092,1951120#msg-1951120
    b][Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD][/b]
    Ok merci ta piste est Bolzano-Weierstrass. C' est bon merci.
  • flipflop
    flipflop
    Salut
    Est-ce que tu peux redonner un lien vers la définition de distance sncf ? Histoire d'être certain de parler de la même chose ?
  • Boble
    Boble
    Je tente mais ne suis pas très fort en Latex.
    si d est la distance usuelle alors la distance D sncf de deux points x,y est d(x,y) si x et y sont alignés avec l'origine sinon c'est d(o,x) +d(o,y)
  • flipflop
    flipflop
    Hum, si j'ai bien compris on a toujours $d_{\text{Classique}}(a,b) \leq d_{\text{sncf}}(a,b)$ ?
  • Boble
    Boble
    Pour moi oui.
  • Martial
    Martial
    C'est facile à visualiser : tu prends toutes les droites issues de Châtelet en direction de la banlieue. Si tu as la chance d'habiter et de travailler sur la même droite, ta distance Domicile-Travail est la distance usuelle. Sinon, il te faut repasser par Châtelet (ça rallonge un peu, lol).
  • flipflop
    flipflop
    hum, du coup si $u_n \to u$ pour la distance sncf alors $u_n \to u$ pour la distance classique … ça permet d'avoir un candidat pour les limites de suite chez la sncf !
  • Boble
    Boble
    Oui mais dans mon cas c'est l'inverse qu'il faut faire et justement trouver une suite qui n'est pas SNCF convergente et a l'aide de BW. on conclut.
  • flipflop
    flipflop
    Oui mais c'est toujours bien d'avoir un candidat à tester pour savoir si une suite converge !

    Exemple : $u_n =(1+1/n,1+1/n)$ est ce que cette suite converge pour la sncf ?
  • Boble
    Boble
    Dans ton cas tous les Un sont colineaires. Donc oui . Calli tu es d'accord ?
  • Calli
    Calli
    Oui, je suis d'accord. :-)
  • Boble
    Boble
    Hum toutes mes suites convergent autour de l'origine, ne vaut il pas mieux prendre justement les boules non centrées sur l'origine ? Et là ca va beaucoup mieux. De fait cela répond à ma question mais j'ai voulu voir si cela marche aussi au niveau de l'origine.
  • Calli
    Calli
    Tout point du réseau ferroviaire différent de l'origine des lignes possède un voisinage compact (une portion du chemin de fer qui le relie à la gare centrale).
    Si les suites que tu construis convergent toutes vers Châtelet (comme dit Martial ^^), arrête de les faire aller là. Fais-les tourner autour : Le Louvre, Rivoli, St-Michel, Cluny, etc.
    PS: C'est marrant de filer la métaphore. :-D
  • Boble
    Boble
    Merci Calli je me suis compliqué la vie.
  • Boble
    Boble
    Juste pour terminer sur cette discussion les suites auxquelles je pensais étaient les boules de centre (1 et de rayon 1/n),
    Du coup lorsque n est grand on a une boule qui est l'union du segment de centre 1 et de rayon 1/ n et de la boule de centre 0 et de rayon 1/n. on a donc une suite qui a deux valeurs d'adhérence et ne converge pas. Elle est où mon erreur ?
  • Boble
    Boble
    Trouvé : dans mon cas on trouve une sous suite convergente. Du coup ton point est bon il faut faire tourner autour de l'origine sans faire converger.
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