Topologie de Zariski
J'essaie de m'approprier un peu cette notion.
Si $A$ est un anneau commutatif unitaire, on appelle $\text{Spec}(A)$ l'ensemble de ses idéaux premiers. Je prends les notations Wikipédia. On définit une application $Z$ sur $\text{Spec(A)}$ en posant $Z(I) = \{ J \in \text{Spec}(A) \mid I \subseteq J\}$.
Je suis d'accord que les $\{Z(I) \mid I \in \text{Spec}(A)\}$ forment les fermés d'une topologie sur $\text{Spec}(A)$.
Donc un ouvert, pour cette topologie, c'est le complémentaire d'un fermé, à savoir le complémentaire d'un $Z(I)$. Un ouvert, c'est donc un $U(I) = \{J \in \text{Spec}(A) \mid I \not \subseteq J\}$ : l'ensemble des idéaux premiers ne contenant pas $I$.
D'habitude, je comprends les topologies quand je comprends à quoi ressemblent les voisinages. Et si jamais c'est sans intérêt de réfléchir en termes de voisinages dans un contexte de géométrie algébrique, laissez-moi quand même dans mon délire pour le moment, merci. Dans un espace topologique $X$, un voisinage d'un point $x$, c'est une partie de $X$ qui contient un ouvert $O$ qui lui-même contient $x$. Allons-y.
Soit donc $I \in \text{Spec}(A)$. Un ouvert de $\text{Spec}(A)$ qui contient $I$, c'est un $U(P)$ défini par un idéal premier $P$ tel que $P \not \subseteq I$. Dans le cas particulier d'un anneau $A$ principal, j'ai une idée comment trouver un tel $P$ (comme dans ce cas, on aurait $I=(x)$ pour un certain $x \in A$, de tête je dirais qu'il suffit de trouver un $y \in A$ qui soit premier avec $x$ et prendre $P=(y)$ pour que ça marche) mais dans le cas général, je ne sais pas trop comment on pourrait les identifier plus précisément. Peut-on faire ça ?
En tout cas, les voisinages ouverts de $I$ sont les $U(P)$ défini par un idéal premier $P$ tel que $P \not \subseteq I$. C'est déjà ça.
Si $A$ est un anneau commutatif unitaire, on appelle $\text{Spec}(A)$ l'ensemble de ses idéaux premiers. Je prends les notations Wikipédia. On définit une application $Z$ sur $\text{Spec(A)}$ en posant $Z(I) = \{ J \in \text{Spec}(A) \mid I \subseteq J\}$.
Je suis d'accord que les $\{Z(I) \mid I \in \text{Spec}(A)\}$ forment les fermés d'une topologie sur $\text{Spec}(A)$.
Donc un ouvert, pour cette topologie, c'est le complémentaire d'un fermé, à savoir le complémentaire d'un $Z(I)$. Un ouvert, c'est donc un $U(I) = \{J \in \text{Spec}(A) \mid I \not \subseteq J\}$ : l'ensemble des idéaux premiers ne contenant pas $I$.
D'habitude, je comprends les topologies quand je comprends à quoi ressemblent les voisinages. Et si jamais c'est sans intérêt de réfléchir en termes de voisinages dans un contexte de géométrie algébrique, laissez-moi quand même dans mon délire pour le moment, merci. Dans un espace topologique $X$, un voisinage d'un point $x$, c'est une partie de $X$ qui contient un ouvert $O$ qui lui-même contient $x$. Allons-y.
Soit donc $I \in \text{Spec}(A)$. Un ouvert de $\text{Spec}(A)$ qui contient $I$, c'est un $U(P)$ défini par un idéal premier $P$ tel que $P \not \subseteq I$. Dans le cas particulier d'un anneau $A$ principal, j'ai une idée comment trouver un tel $P$ (comme dans ce cas, on aurait $I=(x)$ pour un certain $x \in A$, de tête je dirais qu'il suffit de trouver un $y \in A$ qui soit premier avec $x$ et prendre $P=(y)$ pour que ça marche) mais dans le cas général, je ne sais pas trop comment on pourrait les identifier plus précisément. Peut-on faire ça ?
En tout cas, les voisinages ouverts de $I$ sont les $U(P)$ défini par un idéal premier $P$ tel que $P \not \subseteq I$. C'est déjà ça.
Réponses
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Attention, un ouvert $U(I)$ n'est pas a priori défini par un idéal premier.
Donc quand tu écrits "c'est un $U(P)$ défini par un idéal premier $P$ tel que $P\nsubset I$", il faut enlever "premier " a priori
(d'ailleurs, choix bizarre de notation, en général $I$ c'est un idéal quelconque, pas premier... enfin ça c'est très secondaire évidemment) -
$Z(I)$ est défini par un idéal premier, par définition. $U(I)$ c'est le complémentaire de $Z(I)$, mais il n'est pas défini par $I$ ?
(et pour les notations, tant pis si ce n'est pas idéal, je préfère copier les notations de là où je tire mes infos) -
Moi, j'aime mieux voir la topologie de Zariski en me disant qu'une base d'ouverts est formée par les $D(a)=\{\mathfrak p \in \mathrm{Spec}(A)\mid a\not\in \mathfrak p\}$ pour $a\in A$.
On a alors facilement une base de voisinages d'un point du spectre. -
Ah, oui, c'est logique que ces ensembles-là forment une base d'ouverts.
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Enfin... j'ai réfléchi trop vite.
Pour moi, ce n'est pas trivial que ces $D(a)$ soient effectivement ouverts. Le complémentaire d'un $D(a)$, c'est $\{\mathfrak{p} \in \text{Spec}(A) \mid a \in \mathfrak{p}\}$ $ = \{\mathfrak{p} \in \text{Spec}(A) \mid (a) \subseteq \mathfrak{p}\}$ et il devrait être fermé. Ce truc-là pourrait être $Z\big( (a) \big)$ si $(a)$ était un idéal premier, auquel cas il serait effectivement fermé.
Mais si $A$ est quelconque et $a \in A$ est quelconque, $(a)$ est-il forcément premier ? Pour autant que je sache, non. Donc problème.
Comment je fais pour m'en sortir ? -
Encore une fois, les fermés de la topologie de Zariski, ce sont les $Z(I)$ où $I$ est un idéal, pas nécessairement premier. Du coup, $D(a)$ est bien le complémentaire de $Z((a))$ et tout va bien.
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Attends mais ça m'embrouille, là.
$\text{Spec}(A)$, on est bien d'accord que c'est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ ? En tout cas c'est toujours ça que je trouve.
Ensuite, les fermés de la topologie de Zariski, ça va bien être les $Z(I)$, donc l'ensemble des idéaux premiers de $A$ contenant $I$, oui ? Sauf que pour avoir une topologie sur $\text{Spec}(A)$, il faut considérer les $Z(I)$ pour tous les idéaux $I$ de $A$, pas seulement les premiers ? C'est ça qui cloche ? -
Oui, voilà, c'est ça. $Z(I)$ est un ensemble d'idéaux premiers, mais $I$, lui, n'est pas nécessairement un idéal premier. Tu verras que si tu essayes de montrer que les $Z(I)$ sont bien les fermés d'une topologie, il te faut cette flexibilité sur $I$.
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Homo Topi, j'insiste : partir des $D(a)$, c'est vraiment regarder la topologie de Zariski par le bon bout de la lorgnette. Et avec $D(a)$ vient bien sûr l'anneau de fractions $A[a^{-1}]$, nous voila avec le faisceau structural sur $\mathrm{Spec}(A)$.
Tu t'intéressais à la localisation il y a quelque temps, non ? -
Oui, justement. Je crois que tu n'étais pas beaucoup intervenu dans mes fils récents, mais entre les localisations, les limites inductives, les spectres et la topologie de Zariski, c'est assez flagrant de voir vers où ça va :-D
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Je me répète, si tu veux aller par là, suis la piste des $D(a)$. Les réunions finies de $D(a)$ sont les ouverts quasi-compacts de la topologie de Zariski. Le treillis de ces ouverts quasi-compacts, c'est vraiment la chose importante pour le spectre de Zariski. Le spectre est l'espace de Stone de ce treillis.
La relation d'ordre sur les $D(a)$ peut se définir sans faire mention des idéaux premiers : $D(a)\subset D(b)$ si et seulement si $b$ divise une puissance de $a$ dans l'anneau.;-) -
Je retiens !
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GBZM : je fais du hors-sujet pour un.message (désolé Homo Topi) - ta dernière phrase c'est ce qui permet de définir le local de Zariski indépendamment des idéaux premiers ? Et donc faire de la géométrie algébrique constructivement ?
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Oui, je suis ça d'assez loin, il y a des travaux autour de ça par André Joyal, Thierry Coquand, Henri Lombardi ...
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@max: Henri Lombardi a écrit un livre de plus de 1000 pages, chez C & M où il tente de "constructiviser" pas mal de trucs. Et rassuré de voir que GBZM est en forme ;-)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je reprends juste un truc.
On a dit que les $D(a)=\{\mathfrak{p} \in \text{Spec}(A) \mid a \notin \mathfrak{p}\}$, avec $a$ parcourant $A$, étaient une base d'ouverts de la topologie de Zariski.
Du coup... un système fondamental de voisinages de $I \in \text{Spec}(A)$, c'est $\{D(a) \mid a \in I\}$, c'est bien ça ? -
Ben non, voyons ! Tu te mélanges les pinceaux entre le "appartient" et le "n'appartient pas".
Et puis moi, je préfère les idéaux premiers en police mathfrak. -
Effectivement... ce n'est pas encore très naturel pour moi, cette topologie.
Alors. Soit $\mathfrak{q} \in \text{Spec}(A)$. Un voisinage ouvert de $\mathfrak{q}$, c'est un $D(a)$ qui lui-même contient $\mathfrak{q}$, donc un $D(a)$ avec $a \notin \mathfrak{q}$.
Un système fondamental de voisinages de $\mathfrak{q}$, c'est un ensemble $\Sigma$ de voisinages de $\mathfrak{q}$ tel que tout voisinage de $\mathfrak{q}$ contient un élément de $\Sigma$. C'est là que j'ai besoin de ton critère pour $D(a) \subseteq D(b)$, que mon cerveau a juste "bypass" avant.
Si je prends les $D(a)$, avec $a \notin \mathfrak{q}$ et premier... ça devrait marcher ? -
Ça veut dire quoi ??
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Soient un anneau et un des ses idéaux $J$.
@homo topi, juste pour voir, prouve que l'intersection des idéaux premiers $P$ tels que $J \subset P$ est l'ensemble des $x$ tels qu'il existe $n\in \N: x^n\in J$
Si tu n'y parviens pas, ça veut dire qu'il te faudra villégiaturer un peu dans le monde des anneaux (commutatifs). Pas forcément longtemps ne t'inquiète pas.
La topologie de Zariski est faite pour "unifier" pour les experts des choses "qu'ils savaient déjà de manière assez profonde, mais réflexe" juste en parlant algébriquement.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Après, tu pourras, par exemple, prouver qu'il existe des anneaux NON NOETHERIENS dont pourtant la topologie de Zariski est noethérienne (pas de suite strictement croissante d'ouverts). Ca te connectera les deux champs.
Ce n'est pas très dur et surtout ça relancera ton envie de "faire tourner" cette topologie. On rédige des preuves. On ne trouve pas des preuves en rédigeant formellement avant, on trouve d'abord des arguments intuitifs, PUIS on les rédige.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
En théorie des anneaux (au sens humain), il y a une forte dose de second ordre implicite et d'axiome du choix. Tu n'as pas choisi le truc "plat".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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GBZM : Je ne comprends pas... je cherche une base de voisinages d'un idéal premier $\mathfrak{q}$. Je veux bien avoir écrit une connerie, mais que toi tu ne comprennes pas quel passage de ce que j'ai écrit est la connerie !
Pas grave. Reprenons.
On a dit que les $D(a)$ sont des ouverts, même qu'ils forment une base d'ouverts de la topologie de Zariski.
Un voisinage de $\mathfrak{q}$, par définition, ça doit contenir un $D(a)$ qui contient $\mathfrak{q}$. Autant dire que c'est un $D(a)$ qui contient $\mathfrak{q}$. Et avec ça, je veux me fabriquer une base de voisinages de $\mathfrak{q}$. Donc je cherche un ensemble $\mathcal{V}$ de voisinages de $\mathfrak{q}$, tel que tout voisinage de $\mathfrak{q}$ inclut un élément de $\mathcal{V}$.
Tu m'as dit que $D(a) \subseteq D(b)$ dès que $b$ divise, dans $A$, une puissance de $a$. C'est probablement là que je me suis emmêlé les pinceaux en allant trop vite. Si $a$ est premier, je raisonne dans le mauvais sens. J'ai besoin d'un $a$ "le moins premier possible", en fait. Il n'y a pas de notion de primalité dans $A$ a priori, puisque $A$ n'est pas supposé intègre.
Est-ce que quelqu'un peut me donner un exemple d'anneau $A$ et deux éléments $a$ et $b$ tels que $b$ divise une puissance non triviale de $a$ (disons $a^2$ pour rester simple) mais pas $a$ ? C'est obligé que ça existe, sinon tu ne l'aurais pas formulé comme ça. -
En général, quand tu cherches des anneaux qui vérifient des relations, quotienter des anneaux de polynômes marche bien.
Du coup, regarde $\mathbb{C}[X,Y,Z]/(YZ - X^2)$: la classe de $Z$ divise la classe de $X^2$, mais pas celle de $X$. -
Effectivement !
Bon, du coup, je bloque un peu pour extraire une base de voisinages de $\mathfrak{q}$ des informations que j'ai... -
tu crois que dans tout anneau, si $x^2=0$ alors $x=0$ (pour l'exemple que tu demandes). Et sinon?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Mais qu'est-ce qui te fait croire que je crois ça ? Pour $0$ je sais, mais $0$ c'est un élément particulier... je n'ai pas demandé "non nul" effectivement, dans ma tête c'était sous-entendu.
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Je pense que ce que Christophe voulait dire, c'est qu'on peut toujours se ramener au cas où tu demandes si c'est égal à $0$: se demander si $b$ divise $a$ sachant qu'il divise $a^2$, c'est se demander si $a = 0$ sachant $a^2 = 0$ dans $A/(b)$.
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D'accord.
En attendant je bloque sur mes voisinages. -
Pour tes voisinages, tu as déjà un peu trouvé une base: les $D(a)$ forment une base de la topologie, donc les $D(a)$ contenant $\mathfrak{q}$ sont une base de voisinage ouverts de $\mathfrak{q}$, et $\mathfrak{q} \in D(a)$ si et seulement si $a \not\in \mathfrak{q}$.
Du coup, comme base, tu peux prendre la famille des $D(a)$ où $a$ parcourt $A \setminus \mathfrak{q}$. Ca peut paraitre un peu décevant, mais je ne crois pas qu'il y ait quelque chose de plus agréable.
Tu te rappelles dans le fil sur la localisation, où on t'avait fait montrer que tu pouvais écrire $A_{\mathfrak{q}}$ comme la colimite filtrante (i.e la limite inductive) des $A_{f}$ où $f \not\in \mathfrak{q}$? Ben en fait, c'est exactement dire que cette famille de voisinages de $\mathfrak{q}$ est une base de voisinage de $\mathfrak{q}$. Et réciproquement, si tu trouves une "meilleure" base de voisinage, tu trouves un "meilleur" système inductif sur lequel prendre la limite pour calculer $A_{\mathfrak{q}}$, c'est un peu heuristique, mais ça indique un peu que c'est assez dur de trouver une "meilleure" base de voisinage en toute généralité sur $A$. -
D'accord !
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BonjourHomo Topi a écrit:Est-ce que quelqu'un peut me donner un exemple d'anneau A et deux éléments a et b tels que b divise une puissance non triviale de a (disons a² pour rester simple) mais pas a ? C'est obligé que ça existe, sinon tu ne l'aurais pas formulé comme ça.
Chat-maths a déjà répondu, mais on a aussi $A=\Bbb Z$, $a=2$ et $b=4$ (pardon de donner la contribution la moins utile de ce fil). -
Ce n'est pas si inutile que ça : j'aurais pu/dû y penser moi-même, à cet exemple-là, mais je suis tellement "zoomé" sur mon problème mentalement que je n'arrive pas à le trouver moi-même.
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HT a écrit:je n'ai pas demandé "non nul" effectivement, dans ma tête c'était sous-entendu.
oula, pardon pour mon deficit de télépathie passager. J'ai un peu l'impression (si j'en juge par l'intensité de tes remerciements :-D ) que tu stresses trop sur tes questions de maths. Les maths c'est "cuir à feu doux". Accorde-toi plus de temps, et tu verras le gain démesuré.
Si tu es trop pressé, ça bloque.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je ne sais pas si je suis "pressé". Je me trouve beaucoup trop lent/aveugle pour certaines choses.
En attendant : si $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ sont deux idéaux premiers, dire que $\mathfrak{q}$ est proche de $\mathfrak{p}$ pour la topologie de Zariski ça veut dire qu'il existe un voisinage de $\mathfrak{p}$ qui contient $\mathfrak{q}$. Donc il existe un $D(a)$ qui contient les deux, donc un $D(a)$ avec $a \notin \mathfrak{p} \cup \mathfrak{q}$. J'aurais aimé encore pouvoir simplifier ça, mais la réunion de deux sous-groupes n'est pas un sous-groupe en général, donc avec un idéal ça ne marchera pas non plus.
Je sais que la topologie de Zariski est censée être non séparée en général. Je vais voir si j'arrive à le prouver.
Soient $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ deux idéaux premiers, tels que $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}$. Soit $D(a)$ un voisinage de $\mathfrak{q}$, c'est-à-dire $\mathfrak{q} \in D(a)$, c'est-à-dire $a \notin \mathfrak{q}$. Dans ce cas, on a aussi $a \notin \mathfrak{p}$, donc $p \in D(a)$. Donc deux idéaux premiers inclus strictement l'un dans l'autre ne sont jamais séparés (heureusement, j'ai envie de dire).
Encore faudrait-il garantir qu'il existe dans tout anneau commutatif unitaire $A$ deux idéaux premiers inclus strictement l'un dans l'autre. -
Aucune chance de garantir ça. Et il existe des anneaux commutatifs pour lesquels la topologie de Zariski est séparée (et donc compacte, pas seulement quasi-compacte). Exemple : un produit de corps.
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D'accord. C'est vrai qu'elle est non séparée en général, et j'ai trouvé une condition suffisante pour qu'elle soit non séparée, c'est déjà quelque chose.
Je n'avais pas encore prévu de regarder la compacité, mais là tu m'as donné une croquette.
J'aurais préféré savoir s'il y a un moyen de caractériser les anneaux $A$ tels que $\text{Spec}(A)$ est séparé, mais ça m'a l'air assez difficile. -
En passant aux fractions, tu peux même imposer qu'il n'y ait qu'un idéal premier dans ton anneau (tu prends un premier minimal et déclares inversibles les éléments qui ne sont pas dedans).
Mais qu'est-ce que tu cherches au juste? Peut-être le mieux serait-il de poser une question formelle, non?
Et puis "proche" n'est pas synonyme de "il existe ...", sinon, tout lemonde serait proche de tout le monde.
C'est l'ANS qui donne un sens à ça. si $P$ premier standard et $Q$ premier, il est superoche de $P$ quand pour tout $a$ standard:
$$ a\in Q\Rightarrow a\in P$$
Mais je ne crois pas que tu vas t'attaquer à l'ANS ces temps-ci, donc peut-être pourrais-tu poser une question formelle?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
"caractériser" (j'assume, je t'ai suggére la question) reste encore peut-être un peu trop vague comme mot à ce stade).
Comme tu l'as dit, si deux idéaux sont comparables pour $\subset$, pas de séparation possible. Tu auras donc que les anneaux où Zariski séparé ont tous leurs idéaux premiers maximaux (et donc ne seront pas intègres, sauf si corps).
Il te reste donc à voir, si dans un tel anneau, on a bien la séparation (ce n'est pas très difficile).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
christophe : Pour moi, "caractériser" veut dire "trouver une condition nécessaire et suffisante". Dans le sens, y a-t-il une CNS simple pour décrire quels anneaux commutatifs sont séparés pour la topologie de Zariski. C'est toujours comme ça que j'ai vu le mot "caractériser" être employé en mathématiques, en tout cas.
Mais tu as fait la moitié du travail à ma place :-D -
Tu dis que c'est facile... je ne sais pas.
Soit $A$ un anneau commutatif dont tout idéal premier est maximal. Soient $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ deux idéaux premiers (donc maximaux) de $A$. Alors on sait qu'aucun des deux n'est inclus dans l'autre. Donc il existe $a \in A$ te que $a \in \mathfrak{q}$ mais $a \notin \mathfrak{p}$, et il existe $b \in A$ te que $b \in \mathfrak{p}$ mais $b \notin \mathfrak{q}$. On a donc $\mathfrak{p} \in D(a)$ et $\mathfrak{q} \notin D(a)$ d'une part, et d'autre part, on a $\mathfrak{q} \in D(b)$ et $\mathfrak{p} \notin D(b)$.
Reste à voir si $D(a)$ et $D(b)$ sont disjoints. Ou en tout cas, s'il existe toujours un $a$ et un $b$ tels que ça marche.
Supposons qu'ils ne le soient pas. Alors il existe un idéal premier (donc maximal) $\mathfrak{j}$ tel que $a \notin \mathfrak{j}$ et $b \notin \mathfrak{j}$. Et après... aucune idée. -
"facile" au sens où tu peux "te promener" dans la question et non y voir une corvée. Deux idéaux $P,Q$ sont séparés quand il existe $a,b$ tels que:
1/ $a\notin P$ et $b\notin Q$
2/ Tout idéal premier contient $ab$ (autrement dit $(ab)^n =0$ pour au moins un entier $n$)
D'accord avec toi pour le mot caractériser, sauf que mathématiquement, une CNS simple pour que X, et bé c'est X lui-même.
Du coup, il vaut mieux se donner des contraintes, sinon "on gagne sans gloire".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si tous les idéaux premiers sont maximaux, on peut quand même montrer la séparation $\rm T_1$. C'est mieux que rien. J'ai même l'impression qu'on a la réciproque (i.e. $\rm T_1 \Rightarrow$ tous les idéaux premiers sont maximaux). Mais je découvre en même temps que toi, Homo Topi, car je ne connaissais pas la topologie de Zariski avant.
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On a la séparation $T_1$ si et seulement si tous les singletons sont fermés, et dans la topologie de Zariski, un singleton est fermé si et seulement si l'idéal premier correspondant est maximal.
Maintenant, le miracle pour Zariski, c'est que $T_1$ implique $T_2$ dans le cas des spectres d'anneaux. Voir ici: https://stacks.math.columbia.edu/tag/04MG ou ici: https://math.stackexchange.com/a/488917/187567. -
@chat: "miracle".... :-D
C'est "tué" par l'ANS: si $P,Q$ sont std et différents et que $R$ est superproches des 2 (donc presque inclus dans chacun), son standardisé, qui est un idéal premier, serait inclus dans $P\cap Q$, contradiction.
Les trucs qui ne résistent pas à 1ligne (en français dilué, 1/3 de ligne de maths) d'ANS ne devraient pas être qualifiés de "miracle" :-D
@homotpoi, l'ANS est un algorithme linguistique qui raccourcit des raisonnements qu'on pourrait faire avec des ultrafiltres. Je ne t'en impose pas la description dans ce fil, car ce serait HS.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si je qualifie ça de miracle, c'est que je ne connais de l'ANS que le nom, et encore, et les ultrafiltres, que de très loins (en gros, ce qui en est dit dans Bourbaki, hors exercices). As-tu une référence accessible où les ignares comme moi peuvent apprendre à tuer en une ligne les énoncés "miraculeux"? :-D
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Pas facile de trouver des PDF sur l'ANS. Une petite intro basique je crois (que je vais peut-être lire si j'en ai le courage) https://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/gautheron.pdf.
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Personnellement, l'analyse non standard, je préfère ne pas (encore ?) m'y aventurer.
Dans ce message de Christophe, je ne comprends pas entièrement son deuxième point.
Deux idéaux $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ sont séparés s'il existe $a$ et $b$ tels que $\mathfrak{p} \in D(a)$, $\mathfrak{q} \in D(b)$ et $D(a) \cap D(b) = \varnothing$. $D(a) \cap D(b) = \{\mathfrak{j} \in \text{Spec}(A) \mid a \notin \mathfrak{j} \text{ et } b \notin \mathfrak{j} \}$. Donc on veut que tout idéal premier de $A$ contienne $a$ ou $b$, et pour ça, il suffit que ces idéaux premiers contiennent $ab$. Jusque-là je suis d'accord, mais d'où sort la condition $(ab)^n=0$ et surtout à quoi ça sert de faire apparaître un $n$ ici ? -
Je peux faire mieux, je te donne la traduction en preuve classique.
Supposons $P,Q$, différents et non séparables au sens de $T_2$. Il existe alors un ultrafiltre $W$ contenant l'ensemble des idéaux premiers comme éléments et tel que pour tout $a\in A$:
$$\{R\in Premiers \mid a\in R\Rightarrow a\in P\cap Q\} \in W$$
L'ensemble des $a\in A$ tels que $\{P\mid a\in P\}$ est un élément de $W$ est un idéal premier (trivial) $S$ tel que $S\subset P\cap Q$, contradiction.
edit: merci Chat, j'ai mis en rouge ce qu'il manquait.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C'est juste un grand classique: $x\in $ tous les idéaux premiers ssi $\exists n\in \N: x^n=0$.
Je te l'ai même donné en exo, sauf erreur.
Pour preuve: suppose que $\forall n: x^n\neq 0$ et prends un idéal maximal parmi ceux qui ne contiennent aucune puissance de $x$ (Zorn).Tu vas t'apercevoir qu'il est forcément premier et ne contient pas $a$ comme élément.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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