Intersection infinie d'ouverts
J'ai trouvé ceci
$\bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ = \{0\}$
Avec comme justification:
si $x \in \bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ $
alors pour $n \in \N^*$
$-1/n< x < 1/n$
Par passage à la limite, $x=0$
Mais encore faut-il que ce $x$ existe.
Instinctivement j'aurais plutôt cru que cet ensemble était réduit à $\varnothing$
$\bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ = \{0\}$
Avec comme justification:
si $x \in \bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ $
alors pour $n \in \N^*$
$-1/n< x < 1/n$
Par passage à la limite, $x=0$
Mais encore faut-il que ce $x$ existe.
Instinctivement j'aurais plutôt cru que cet ensemble était réduit à $\varnothing$
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Réponses
Ne dois tu pas trouver un ensemble plutôt qu’un réel ?
Ici, tu montres que si $x$ est dans l'inclusion, alors $x=0$. Pour montrer que l'intersection est non vide, il faut quand même vérifier que $0$ est dedans, mais ça c'est facile. Tu auras conclu que l'intersection est incluse dans $\{0\}$, et réciproquement.
La démonstration demande évidemment à être complétée par la remarque que 0 est bien dans l'intersection (une conclusion d'une preuve commençant par une supposition ne prouve rien si la supposition est fausse), à moins que la remarque ait été faite avant..
Cordialement.
Synthèse : $0\in \bigcap_{k=1}^{\infty} \left]-1/k,1/k\right[$.
Hein, Gérard ? ;-)
Soit $x$ un nombre entier pair, plus grand que 4 qui ne soit pas somme de deux nombres premiers non plus?
Pour aller plus loin, mais âme sensible s'abstenir, tu t'apercevras peut-être un jour que l'ensemble vide, n'a rien de vide, il est juste inclus dans tous les autres. Opératoirement, ça revient au même, mais ça t'aidera peut-être à distinguer le formel de la philosophie.
Tamasushi écrivait:
> Le problème c'est que dans la démonstration on
> prend un $x$ dans l'ensemble sans s'être assuré
> que ce même ensemble contenait quelque chose. Si
> cette intersection vaut $\varnothing$, prendre un
> $x$ dans l'ensemble n'a pas de sens.
analyse : 0 est dans l'intersection.
;-)
Analyse : je suppose « la question résolue » et j’en déduis des conditions nécessaires.
Synthèse : je regarde si mes conditions nécessaires trouvées sont suffisantes.
Analyse : pour toute décomposition d'une fonction $f:\mathbb R\to \mathbb R$ en somme d'une fonction paire $p$ et d'une fonction impaire $i$, on a $p= \left(x\mapsto \frac12(f(x)+f(-x))\right)$ et $i= \left(x\mapsto \frac12(f(x)-f(-x))\right)$.
Synthèse : les fonctions $p$ et $i$ définies ci-dessus sont respectivement paire et impaire, et leur somme est $f$.
À noter qu'on ne se préoccupe pas pour faire l'analyse de savoir si l'ensemble des décompositions demandées est vide ou non.
Je ne me suis jamais demandé si {1,2} est vide. Pour cause !
Dans cet exercice, Maxtimax dit comme moi (j'ai répondu sans voir son message), j'ai seulement rajouté le fait que c'est normalement évident.
GaBuZoMeu : Que reproches-tu à ce message ?
Analyse : Synthèse :
Gérard, je sais que tu sais ce qu'est un raisonnement par analyse et synthèse. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu t'entêtes à faire semblant de ne pas savoir.
PS. Quand j'écris c'est bien évidemment en référence au premier message de ce fil. As-tu oublié la question posée ?
mais tu fais parfois tellement le puriste que je ne peux m'empêcher de provoquer.
Bien sûr, je sais ce qu'est un raisonnement par analyse/synthèse. J'ai appris ça vers 1965. Et vu des descriptions différentes, des pratiques diverses, depuis. D'où ce message, provocateur !
Cordialement.
@dom: je ne me rappelle jamais l'expression pédagogique, bien que je l'ai connue sur le forum, mais à ce que tu dis, je "ressens" que oui c'est ça. Cela dit, comme toujours avec la pédagogie, comme couramment, il y a une sorte de quasi-égalité entre $A\to B$ et $\neg B \to \neg A$, je t'avoue que je ne ferai jamais beaucoup d'effort pour défendre "l'analyse c'est ci, la synthèse c'est ça".
Ici présent comme, une fois retiré le quantificateur $\forall $, l'énoncé est :$$
x\in A\iff x=0,
$$ mais pourrait tout autant être $$
x=0\iff x\in A.
$$ Je suis bien incapable de penser quelque chose de la controverse présoixante-huitarde (si j'ai compris) entre GBZM et Gérard, et en plus je suis né en 1966 :-D
Disons juste qu'il parait moins naturel de proser : "une condition nécessaire pour que $x = 0$ est que $x\in A$"
et bien plus de proser: "une condition nécessaire pour que $x \in A 0$ est que $x = 0 $"
L'analyse-synthèse c'est juste ce qui arrive quand le cahier des charges du problème entraîne assez manifestement la petitesse de l'espace où le chercheur cherche une solution potentielle. Ce n'est pas une vraie règle d'inférence mathématique (il est dangereux de mettre sur le même plan les éléments constitutifs authentiques d'une preuve formelle et les commentaires en prose que le mathématicien se fait à lui-même pour aider son intuition et celle de ses lecteurs).