Tu dois prendre une suite de Cauchy de ton espace et montrer qu'elle converge dans ton espace. Grosso modo tu pars de ta suite de fonction $(f_n)$, tu dis que pour tout $x$ la suite $(f_n(x))$ est de Cauchy dans $\R$ (ou ailleurs mais il te faut un espace complet) et tu notes $f(x)$ la limite. Tu dois maintenant montrer que $f_n \rightarrow f$ et que $f$ est continue.
Si mes souvenirs sont bons il faut tout de même demander à l'ensemble source de tes fonctions d'être compact.
Edit : après vérification dans mes grimoires, je confirme. Ce que tu veux montrer c'est certainement : soit $X$ un espace métrique compact et $E$ un e.v.n complet. Alors l'espace des fonctions continues de $X$ dans $E$ est complet pour la norme infinie.
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Edit : après vérification dans mes grimoires, je confirme. Ce que tu veux montrer c'est certainement : soit $X$ un espace métrique compact et $E$ un e.v.n complet. Alors l'espace des fonctions continues de $X$ dans $E$ est complet pour la norme infinie.
Si X est un espace topologique compact, cela suffit non?
Outre cela, je pense que @Boole et Bill a visé juste.
Je ne vois pas pourquoi on a besoin que l'espace source soit compact. Avez-vous un contre-exemple quand il n'est pas compact ?