Sphère cornue d'Alexander
dans Topologie
Bonjour
Je suppose que ma question est censée avoir une reponse évidente vu qu'elle est absente de toutes les sources que j'ai lues (en particulier dans le papier original d'Alexander) bien que fondamentale:
Pourquoi la sphère cornue d'Alexander (célèbre contre-exemple à la généralisation du théorème de [large]S[/large]choenflies et témoin de l'utilité de définir la catégorie des variétés différentiables) est une 2-sphère ?
Alors ok, on approche celle-ci grâce à des 2-sphère mais il faudrait un peu plus que ca pour en être sûr ? (Dans le genre d'une convergence uniforme sur les homéomorphismes des 2-spheres consécutives vers la sphère unité ?)
En particulier je me demande pourquoi on ne rencontre pas les même problèmes de connexité simple que l'on peut trouver pour l'extérieur : un lacet simple posé sur la surface et faisant le tour d'une corne peut-il être réduit à un point ? (Je me doute que oui du coup mais comment ?)
Merci d'avance pour votre aide et votre curiosité.
[Arthur Moritz Schoenflies (1853-1928) prend toujours une majuscule. AD]
Je suppose que ma question est censée avoir une reponse évidente vu qu'elle est absente de toutes les sources que j'ai lues (en particulier dans le papier original d'Alexander) bien que fondamentale:
Pourquoi la sphère cornue d'Alexander (célèbre contre-exemple à la généralisation du théorème de [large]S[/large]choenflies et témoin de l'utilité de définir la catégorie des variétés différentiables) est une 2-sphère ?
Alors ok, on approche celle-ci grâce à des 2-sphère mais il faudrait un peu plus que ca pour en être sûr ? (Dans le genre d'une convergence uniforme sur les homéomorphismes des 2-spheres consécutives vers la sphère unité ?)
En particulier je me demande pourquoi on ne rencontre pas les même problèmes de connexité simple que l'on peut trouver pour l'extérieur : un lacet simple posé sur la surface et faisant le tour d'une corne peut-il être réduit à un point ? (Je me doute que oui du coup mais comment ?)
Merci d'avance pour votre aide et votre curiosité.
[Arthur Moritz Schoenflies (1853-1928) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Je pense que la raison pour laquelle ça n'apparaît pas dans tes sources est ou bien que c'est évident par définition (si elle est définie comme l'image d'un plongement par exemple), ou bien que la preuve est ignoblement technique et a uniquement été faite dans le (les ?) papier d'Alexander qui l'a introduite
Il me semble.
(Image wikipedia)
Pour la simple connexité, je crois voir ce qui te choque : si je prends la tête d'une vache, si j'ai posé un élastique autour d'une de ses cornes et que je veux en faire un collier, il faut (enfin, il suffit) que je l'étire sur le crâne de la vache, que je passe l'autre corne, et qu'ensuite je fasse descendre pour que ça entoure son cou. Tu vois ce que je veux dire ? Eh bien, là, c'est la même chose, sauf que tu fais glisser l'élastique le long d'une infinité de cordes qui se prolongent les unes les autres, mais comme elles sont de plus en plus petites, tu peux toutes les dépasser en un temps fini. J'ai évidemment la flemme d'écrire ça formellement mais je peux détailler un peu plus si tu veux.
PS. La sphère cornue en vrai.