Densité des rationnels dans les réels

Salut,
Tu peux essayer de montrer que sont équivalentes :
$(1)$ la complétude de $\Bbb R$,
$(2)$ la propriété de la borne supérieure dans $\Bbb R$,
$(3)$ le théorème de Bolzano-Weierstrass,
$(4)$ le théorème de convergence des suites monotones,
$(5)$ le théorème des suites adjacentes
$(6)$ et la classification des intervalles de $\Bbb R$ (tout intervalle est du type $[a,b], [a,b[, ]a,b]$ ou $]a,b[,$ avec $a\leqslant b$ dans $\overline{\Bbb R}$).

Non. C'est qu'@AD a changé la mise en page (c'est vrai que c'est mieux avec des numéros), mais il n'a pas vu que ce sont deux points distincts. J'ai corrigé.

[En effet, je n'avais pas vu le 'et' :-( AD]

@Boole et Bill : maintenant tu devrais t'intéresser à la construction de Dedekind par les sections commençantes ouvertes qui est beaucoup plus intuitive.
En plus elle a un avantage : avec Dedekind tu n'as besoin que d'une quantité dénombrable d'objets pour définir un réel (à savoir l'ensemble des rationnels qui le précèdent). Alors que l'ensemble des suites de Cauchy qui convergent vers un réel donné a le même nombre d'éléments que $\R$.

Tu la trouveras par exemple dans mon livre
https://sites.google.com/view/martial-leroy
chapitre 7.

Aucune connaissance préalable en théorie des ensembles n'est nécessaire, il suffit d'admettre les propriétés de $\Q$.
A vrai dire je donne les 2 constructions, mais tu remarqueras que j'ai eu la flemme de démontrer qu'elles conduisent "fondamentalement" au même objet.
Il y a un théorème général qui dit que tout corps commutatif totalement ordonné archimédien et possédant la propriété de la borne sup est isomorphe à $\R$, mais je me suis contenté de donner une référence.

@B&B:

j'espère quand-même que tu es conscient que pour la construction par les sections commençantes, il n'y a .. rien à faire. Sinon, tu es mal barré :-D (tu vas te demander où commencer).

Pour la quasi-totalité des gens $\R$ c'est d'ailleurs ça (ie l'ensemble des rationnels strictement plus petit que lui). Je peux me tromper, mais qui pense autrement à un réel***?? :-S

Ce qui est "substantielle" avec elles (les SC), c'est de construire les opérations habituelles. Là, ça peut t'entrainerà rédiger.

*** of course je propose aux sections finissantes de garder le silence et aux décimalistes, idem (ceux qui "prétendraient voir" percevoir un réel comme l'ensemble des .. décimaux plus petit que lui :-D )

A la rigueur si tu veux vraiment t'amuser, mais ça doit être plus aventureux, le secteur des fractions continues, que je ne connais pas offre de quoi jouir? (Idem, ce sont souvent les opérations, et avec ce cadre la preuve de la complétude).

@ Boole et Bill
Quel est ce livre d'analyse, et quelle est cette troisième construction de $\mathbb R$ ? Merci.
Fr. Ch.

@GBZM : c'est vrai que ça revient au même, mais je suis comme Christophe, je vois plutôt un réel (positif), comme l'ensemble de tous les décimaux qui le précèdent. C'est peut-être dû à la façon dont j'ai rédigé la construction dans mon livre. A noter que pour une fois je n'ai pas pompé le truc dans un bouquin ou dans un cours de fac, pour la bonne raison que tous les documents que j'avais en ma possession faisaient ça avec Cauchy. J'ai donc fait la construction tout seul comme un grand. Une fois que j'ai eu la propriété de la borne sup et l'archimédianité j'ai pu définir la partie entière, puis, par récurrence, la nième décimale d'un réel... et on s'aperçoit après coup qu'il suffit de connaître tous les décimaux qui le précèdent pour cerner un réel.

@Christophe : Effectivement je me suis fait ch... pour définir les opérations proprement, c'est le point délicat. A mon avis c'est pour ça qu'à mon époque (en 1975, c'était juste après l'extinction des dinosaures), en sup on faisait la construction par les suites de Cauchy. Je suppose que maintenant on la fait en M1 mais je ne veux pas dévier du sujet. D'ailleurs je me souviens avoir ressenti une grave frustration quand on m'a dit qu'un réel était une classe d'équivalence de blablabla : "Ah bon, c'est ça un réel ? Et comment j'fais, m'dame, pour voir racine de 2 et pi ?"

@Boole et Bill : Fondamentalement, les sections commençantes ou les coupures font le même travail. C'est juste qu'avec les coupures tu restes davantage fidèle à l'histoire, puisque c'est ainsi que Dedekind a procédé. Mais les coupures sont des objets abstraits (presque autant que les classes d'équivalence de blablabla), alors que les SC on les voit bien. Et pis si ça t'amuse tu peux lire la construction par les coupures, et ensuite considérer que les SC ne sont guère que les "parties gauches" des coupures. Comme dit Christophe il suffit de demander gentiment aux sections finissantes de fermer leur clapet.

@Christophe : je ne suis pas "décimaliste", loin de là, mais c'est vrai qu'une fois que tu as fini le taf les décimaux suffisent.

Salut,
Chaurien, note bien que l'amour commence généralement plutôt avec à la constatation de propriétés intéressantes qu'avec une explication sur une condition d'existence du comment du pourquoi de ces propriétés (elle est nulle, mais c'était trop tentant (:D ).

En ce qui me concerne, j'ai d'abord appris sur les coupures de Dedekind (et du coup, j'aime bien), mais je considère que les suites de Cauchy sont plus simple, parce que la démonstration de "l'héritage" des propriétés algébriques est plus subtile avec les coupures. De plus, à un niveau assez basique, comme le mien, les suites de Cauchy sont plus rapidement généralisables (dans des espace métrique ou des truc comme ça), que les coupures de Dedekind, parce qu'il y a sûrement des cas où la coupure de Dedekind est plus utile que la suite de Cauchy, mais ça doit se passer dans un ensemble totalement ordonné et avec des propriétés assez exotiques.

Je ne connais pas la troisième méthode... Serait-il possible qu'on me donne son nom? Afin que je puisse me mettre à niveau.

Edit: Ok, ça doit être le trucs avec les séries de termes en "décimale" (enfin, pas nécessairement "déci"), du coup, finalement, je connais.

Pour en revenir à la question posée initialement, la densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ ne touche pas à la spécificité de $\mathbb R$, borne sup et tout ça, et ne nécessite pas le grand tam-tam de la Construction. L'ordre archimédien suffit, je répète.
Il y a un représentant isomorphe de $\mathbb Q$ dense dans tout corps commutatif ordonné archimédien.
Remarque : si $K$ est un corps ordonné (commutatif ou non), s'il est archimédien, alors il est commutatif ; c'est Hilbert qui fait remarquer ça dans ses Fondements de la géométrie.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Re,
Chaurien: avant d'utiliser le côté archimédien pour montrer la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, je suppose qu'il faut d'abord montrer que $\mathbb{R}$ est muni d'un ordre archimédien et aussi que pour tout réel (non nul), il existe un rationnel entre ce réel et 0. Ça ne coûte pas cher, mais si on est en mode construction, ce ne sont pas des étapes à négliger.

Moi non plus, je ne comprends pas très bien ce que dit Maxtimax (je ne cherche pas non plus à pousser la logique, je me considère donc comme un "classique" pour éviter de m'embêter, du coup, ce genre de truc, je ne connaitrai jamais). Je ne suis pas capable d'apporter un éclairage complet, mais, outre le fait que je fais vachement confiance à Maxtimax, je constate ça (là je ne parle que d'addition):

-Si on est sur les suites de Cauchy (de rationnels), on peut montrer très directement (c'est à dire en se reposant sur les définition, et sans faire de raisonnement par l'absurde ou appel à l'axiome du choix) que l'ensemble des suites de Cauchy est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, et qu'en outre si $x$ et $x'$ sont de même classe et $y$ et $y'$ de même classe aussi alors $\forall (u,v)\in \mathbb{Q}^2$ $ux+vy$ et $ux'+vy'$ seront des suites de Cauchy de même classe (du coup, l'addition, c'est vite fait).
- Si on est sur les coupures de Dedekind qu'on considère deux coupure $(A_-,A_+)$ et $(B_-,B_+)$, montrer que tout élément $q\in \mathbb{Q}$ est soit élément de $A_-+B_-$ soit élément $A_++B_+$ est vachement plus costaud et je ne vois pas comment éviter le raisonnement par l'absurde.

Bon, bien sûr, ce que je dis là n'est pas une preuve, je ne suis pas en mesure de dire qu'on ne peut pas faire toutes les démonstrations de base concernant les coupures de Dedekind avec la palette intuitionniste, mais quand même, je crois que ça met sur la piste.

@max : "Perso, je préfère les suites de Cauchy mais c'est essentiellement parce que c'est tellement plus simple de prouver que ça forme un corps..."

C'est pas si trivial que ça, à mon sens. Le truc délicat est de prouver que l'idéal des suites qui convergent vers 0 est maximal dans l'anneau des suites de Cauchy de rationnels. Je me souviens que ma prof de sup avait admis ce "lemme" à l'époque, et de nombreuses années plus tard je me suis cassé la tête pour l'écrire correctement.
Bon, je suis d'accord que ça casse pas 3 pattes à un canard, mais c'est quand même un peu calculatoire.

Martial : ce qu'a dit Poirot ;-)

Mais j'ai raisonné dans l'anneau de départ au lieu de raisonner dans le quotient.

Je pense que psychologiquement j'ai été traumatisé par le fait que ma prof de sup avait admis ce résultat, alors qu'elle nous avait démontré des résultats beaucoup plus compliqués. Exemple : la réciproque de Bolzano-Weierstrass dans le cas métrique.

Bonjour,
@ christophe c:

Si j'ai dit "costaud" dans le cadre de la démonstration de la démonstration que $(A_-+B_-, A_++B_+)$ est bien une coupure (pas tout-à-fait à la réflexion, un singleton peut échapper à l'union des deux, mais ça se règle avec les conventions, je crois que la coupure inférieure n'a pas d'élément maximum, donc il suffit d'ajouter une convention à l'addition pour le coller dans la coupure supérieure), c'est surtout parce que j'ai besoin d'un raisonnement par l'absurde. En revanche, je n'ai pas besoin de raisonnement par l'absurde pour montrer que l'addition est bien une loi de composition interne pour les classes de suites de Cauchy. Je voulais donc juste communiquer par cet exemple qu'il ne paraissait a priori pas aberrant de considérer que ce que disait Maxtimax à propos de suites de Cauchy et de coupures de Dedekind sur $\mathbb{Q}$ non isomorphes chez les intuitionnistes.
Je ne parlais pas du tout du problème de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.

Bonjour,

CC, je n'ai rien compris à ton dernier message.
Faut dire qu'avec 95% de sous entendu...........

Cordialement,

Rescassol

Il est possible que CC parle de Synthetic Differential Geometry d'Anders Kock.

Je viens de le feuilleter, oui, à mon avis, c'est ça que j'ai dû lire en français ou, (faut dire que j'avais 30 de moins et j'étais plus audacieux) peut-être en anglais et je ne m'en souviens pas. Il faut savoir que je ne lis jamais un livre, je le parcours à toute vitesse (un peu comme si j'en voulais le sommaire) et je reviens sur quelques points (c'est rare) pour creuser. C'est assez bizarre, c'est "compulsif". Du coup, si je l'ai lu anglais, ça ne m'a pas marqué (pour un parcours compulsif illusionnant à 1 page par seconde de toute façon...