C'est quoi, un trou ?

Homo Topi
Homo Topi
dans Topologie
De temps en temps, je relis des trucs que j'ai faits en L3/M1 à l'époque où j'étais "mentalement pas très présent" dans mes études, juste pour voir si je me rappelle grand-chose, si ça m'intéresse et que ça vaut la peine que j'essaie de le réapprendre pour le comprendre... enfin bref.

J'avais eu un cours, en option, sur les formes différentielles. J'ai une tonne de questions sur les formes différentielles en elles-mêmes mais ce n'est pas le sujet cette fois. Nous avions tout un morceau de cours, que je n'ai pas franchement bien compris (je me suis contenté d'aligner des symboles sans comprendre grand-chose et de rater mon examen), sur la cohomologie de De Rham. J'ai essayé de lire quelques trucs sur l'homologie/la cohomologie juste pour me "remettre dans le bain". Je suis tombé sur ça sur Wikipédia. Je sais que ça s'appelle "exemples informels" mais bon.

Ils disent que le cercle $S^1$ possède une seule composante connexe (oui, le "$k^{th}$" déjà est un indice que l'article français a juste été traduit rapidement depuis l'anglais, mais qu'importe) et... un trou de dimension $1$. J'imagine qu'ici, la dimension, c'est le $n$ du $\mathbb{R}^n$ auquel chaque voisinage d'un point du "trou" est homéomorphe. Du coup, le "trou dans un $S^1$", pour moi, il serait plutôt de dimension $2$, puisque c'est le disque à l'intérieur du cercle (sauf si j'ai très mal compris un truc) ? En tout cas, je ne vois aucun trou de la même dimension qu'une droite sur leur dessin du cercle.

Je sais que le tore standard a un trou, et qu'on appelle surface à $g$ trous/surface de genre $g$ une surface obtenue par "recollements" (je ne sais pas si c'est le bon terme, mais vous comprendrez sûrement ce que je veux dire) du bon nombre de tores. Mais j'aimerais savoir comment on définit proprement, mathématiquement, ce qu'est un trou dans une variété et comment on détermine la dimension dudit trou.

Merci. :-)


EDIT : Pablo, ce n'est pas la peine d'écrire quelque chose ici, je ne le lirai pas.

Et s'il le fait quand même, aux autres : ne lui répondez pas. Ceci est mon fil, je ne veux pas de ses sottises ici.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Oui, c'est vraiment très informel.
    Disons qu'un trou de dimension $k$ de $X$ est un machin $T$ fermé sans bord de dimension $k$ qui ne peut pas être rempli dans $X$ par un truc de dimension $k+1$ (un truc dont le bord serait $T$), On identifie deux trous si leur différence symétrique n'est plus un trou (c.-à-d. si elle peut être remplie).
    Un point est un trou de dimension 0. Deux points de $X$ sont identifiés en tant que trous s'il y a un chemin de l'un à l'autre.
    Dans le cercle, le cercle lui-même est un trou de dimension 1. Un cercle dessiné sur une sphère n'est pas un trou. Un tore à un trou a deux trous de base de dimension 1 représentés par un parallèle et un méridien.

    Bon ce que je fais c'est juste agiter les mains pour parler de l'homologie à coefficients dans $\Z/2\Z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Homo Topi : si tu dis que c'est la dimension de ce qu'il y a "autour" du trou, alors comme il s'agit ici des points de $S^1$ (c'est bien eux qui, dans $S^1$, sont autour du trou !)

    Sinon les "bonnes" (en tout cas ce qu'on en sait) manières de définir les trous, c'est via la (co)homologie, en général, donc pour en dire vraiment plus (et arrêter d'agiter les mains, même si GBZM le fait vachement bien) faudrait que tu dises ce que tu sais à ce sujet/à quel point tu veux que ce soit technique


    GBZM : tiens je n'avais jamais réfléchi au fait que si tu n' "orientes" pas (tu prends juste la différence symétrique), tu prends des coefficients dans $\Z / 2\Z$. C'est idiot, mais il fallait l'entendre
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je ne comprends pas trop pourquoi $S^1$ lui-même serait un trou de $S^1$... pour moi le trou pourrait être tout sauf $S^1$, en l'occurence je dirais que c'est le disque (ouvert) à l'intérieur de $S^1$.

    Vous pouvez me donner les définitions "brutales" qu'il faut pour définir proprement ce qu'est un trou dans une variété, hein.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Voici déjà un lien : clique ici. Il y a plein de choses qui t'aideront peut-être.

    Pour continuer dans l'informel, je ne sais pas s'il y a une définition précise de "trou" qui capture exactement l'idée informelle que l'on s'en fait (même si GaBuZoMeu a proposé une définition).

    Et pour le trou du cercle, ben, je sais au moins une chose : même si je ne sais pas ce qu'est un trou, je sais que la courbe $t \mapsto e^{i2\pi t}$, entre $0$ et $1$, fait une fois le tour de ce trou.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ce n'est pas $S^1$ qui "est" le trou, mais c'est $S^1$ qui "borde" le trou. Mais en fait ta définition de la dimension du trou n'est pas la bonne de toute façon.
    Si tu veux tu peux regarder $\R^2\setminus\{0\}$, qui a "le même trou que $S^1$".

    Mais en fait, pour répondre à ta demande, il n'y a pas de "définition brutale" de trous : on ne parle de trous que de manière imagée - enfin en tout cas je n'ai jamais vu de définition de "trou".

    Par contre on peut te renvoyer vers l'homologie singulière (ou la cohomologie de de Rham si tu aimes plus les formes différentielles - on est chanceux, cohomologie de de Rham et cohomologie singulière coïncident !) pour avoir une idée de ce dont les gens parlent quand l'image du trou est évoquée.
  • christophe c
    christophe c
    Un trou dans quoi?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Eh bien, ça fait partie de la question ! Enfin, le dernier message de Maxtimax me donne une idée de quoi chercher.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Maxtimax écrivait:
    > Ce n'est pas $S^1$ qui "est" le trou, mais c'est $S^1$ qui "borde" le trou. Mais en fait ta
    > définition de la dimension du trou n'est pas la bonne de toute façon.

    Non, absolument pas d'accord. L'homologie est quelque chose d'intrinsèque à l'espace topologique, ici $S^1$ et ne dépend pas du plongement de $S^1$ dans ceci ou dans cela.

    Donc pour $S^1$ : un "trou" de dimension 0 représenté par un point et un "trou" de dimension 1 représenté par $S^1$ lui-même. C'est complètement contre-intuitif dans la mesure où ça ne correspond absolument pas à l'idée qu'on se fait de "trou". L'image du trou mène à la confusion.

    Si on veut un accès rapide à l'homologie, on peut travailler avec des espaces particulièrement simples : les complexes simpliciaux finis. C'est très simple, mais ça suffit par exemple pour attraper toutes les variétés compactes, tous les ensembles algébriques (avec des singularités) compacts, etc.
    Une $k$-chaîne $C$ du complexe $K$ est un ensemble de $k$-simplexes de $K$ ; les $k$ chaînes forment un $\Z/2\Z$-espace vectoriel. Le bord de la $k$-chaîne $C$ est l'ensemble des $k-1$ simplexes qui apparaissent un nombre impair de fois comme faces d'un $k$-simplexe de $C$. Un $k$-cycle est une $k$-chaîne dont le bord est nul. Le $k$-ème groupe d'homologie est le quotient de l'espace des $k$-cycles par le sous-espace des bords de $k+1$ cycles.
    Un "trou de dimension $k$" serait (la classe d')un $k$-cycle qui n'est pas un bord.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    GBZM : j'ai pas dit que ça dépendait du plongement de $S^1$ :-S
    Si on veut vraiment aller jusqu'au bout dans l'idée de trou, c'est quelque chose qui "manque".

    J'essaie justement de coller à l'intuition (qui, de toute façon, ne colle pas à la manière dont les objets sont réellement définis !); et alors certes on peut dire que le mot "border" n'est pas cohérent avec la terminologie usuelle (parce que les bords sont justement les $dx$, donc les bords des trous "comblés"), mais si on veut coller à l'intuition et voir un trou comme "quelque chose qui manque", on peut voir notre classe d'homologie comme le "bord" de quelque chose qui manque.

    Le fait que ce soit un "bord virtuel" correspond à l'idée que c'est un cycle (si $x$ est "virtuellement un bord", alors $dx = 0$, donc $x$ est un cycle, et il borde un trou s'il ne borde pas vraiment quelque chose, i.e. si ce n'est pas un vrai bord, donc s'il n'y a pas de $y$ tel que $dy = x$ - donc si je vois "border un trou" comme "border un truc virtuel, c'est-à-dire quelque chose qui pourrait être là, mais ne l'est pas", on voit que "border un trou" revient à "être un cycle qui n'est pas un bord" [ avec la terminologie usuelle ], soit "être une classe de cohomologie non triviale", ce qui est parfaitement le cas de $S^1$ - enfin si on veut être précis, du simplexe singulier qui fait le tour de $S^1$).

    Donc je comprends ton point de vue, mais je maintiens ce que je dis (et je pense que cette manière de le dire colle plus à l'intuition, même si elle ne colle pas à la terminologie usuelle des complexes de chaînes)
  • Homo Topi
    Homo Topi
    OK c'est devenu compliqué :-D
  • Maxtimax
    Maxtimax
    HT : tu peux voir dans ce post de blog une petite introduction aux idées de l'homologie simpliciale.
    ça ne traite que le cas des graphes (donc tout est de dimension $\leq 1$), donc c'est pas complètement représentatif de ce qui se passe dans des espaces plus généraux, mais ça peut permettre de faire un lien entre la notion de "trou" et la notion de "cycle dans un complexe de chaînes" sur un "exemple bébé".

    C'est fait sur $\R$, mais dans le cas de graphes ça peut tout aussi bien se faire sur $\Z$ (ou en fait n'importe quel anneau; d'ailleurs le faire avec $\Z/2\Z$ permettrait de traiter de graphes non orientés de manière moins ad hoc que ce qui est présenté; mais bon).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    J'essaierai de regarder, merci.
  • christophe c
    christophe c
    Je vais lire (pas encore fait), mais attention:

    @homo topi.

    pour LES GENS, un trou, c'est un connexe** qu'on a retiré à un convexe ouvert et borné dans un espace euclidien. Autrement dit, c'est deux choses: Truc, TrouDansTruc.

    Bien évidemment, on comprend que ceci soit trivial et qu'ensuite, on "joue" aux voyants. Jouer aux voyants, c'est faire des maths et trouver des stratégies dans des jeux, donc ici, par exemple, faire progresser Lea dans l'art de trouver à quoi ressemble le trou quand on ne lui donne que LA CLASSE d'homéomorphisme de l'espace $C\setminus D$, où $C$ est un convexe ouvert borné et $D$ un connexe (disons fermé tout de même :-D ) inclus dedans.

    Il te faut bien comprendre qu'alors, on est en 1842, on se monte une chtite startup de l'époque, on intitule le tout "étude intrinsèque des formes", on met une pancarte, on a un secrétaire qui appelle toutes les semaines le CNRS pour avoir desz criédits et une homologation, etc, et 150 plus tard, on est devenu un labo en pointe qui recrute des ulmiens de pointe comme max, et est resté en correspondance avec des autorités comme GBZM (devenus des Lea's championnes du monde en parties gagnées de reconnaissance de la classe d'homéomorphisme du trou via l'information réduite donnée.

    MAIS commence par le commencement: normalement ça aurait été à toi de raconter ce que je viens de raconter, ça s'appelle "verbaliser ses passions". Sinon, les experts qui te répondent, emmenés parfois par l'intrinséquitude peuvent avoir, au cours de leur expérience préférer garder le mot trou, mais changer sa définition à la vue des enseignements des démonstrations qu'ils auront rencontrées, estimant qu'il "n'est plus pertinent" de considérer que ceci n'est pas un trou, par exemple. Et du coup, tu reviens avec un sentiment de découragement devant l'ampleur du taf.

    ** bon j'ai pris connexe fermé, mais d'autres auraient pris "boule fermée".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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