Densité de $\{\sin n\}$ dans $[-1,1]$
dans Topologie
Bonjour. Comme indiqué dans le titre, je cherche à prouver la densité de $\{\sin n\mid n\in\N\}$ dans l'intervalle $[-1,1]$. Je vois le résultat, et je pense qu'il va falloir utiliser la densité de $\Z[2\pi]$ dans $\R$, ou bien considérer l'application canonique $\N\rightarrow\R/2\pi\Z$, ou les deux! Cependant je n'arrive pas à démarrer, et ce depuis tôt ce matin. Auriez-vous des indications?
Merci.
PS : j'ai une question annexe, à quoi ressemble le quotient $\R/G$, où $G$ est un sous-groupe dense de $\R$? J'ai du mal à visualiser.
Merci.
PS : j'ai une question annexe, à quoi ressemble le quotient $\R/G$, où $G$ est un sous-groupe dense de $\R$? J'ai du mal à visualiser.
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Réponses
EDIT : Correction du TeX.
Pour ton PS, $\R/G$ est un truc assez dégoûtant, pas étonnant que t'arrives pas à le visualiser. Si $G$ est dense (et n'est pas $\R$, évitons les cas idiots), il n'est pas fermé et en particulier $\R/G$ n'est pas séparé. $0$ y est dense, par exemple. A ma connaissance, sa topologie (et donc une partie de sa "représentation mentale") n'apporte pas grand chose.
En termes de groupes, on ne peut pas en dire énormément non plus : $\R$ est une somme directe de $\R$ copies de $\Q$, donc en particulier certains de ses quotients sont (isomorphes à) $\Q^n$, d'autres à $\Q \oplus \Q/\Z$ ou plein d'autres choses encore plus bizarres. On peut dire quelques trucs lorsque $G$ est finiment engendré :
dans ce cas $\R$ se décompose en $\Q^n \oplus \R$ (pas topologiquement hein !) avec $G\subset \Q^n$. En particulier, en prenant un dénominateur assez grand, on peut supposer $G\subset \Z^n$, et donc on peut supposer que $G$ va être de la forme $d_1\Z \oplus ... \oplus d_n\Z$ avec $d_n\mid ... \mid d_1$, et donc $\Q^n/G \cong (\Q/\Z)^k \oplus \Q^r$ pour certains $k,r$, et donc $\R/G \cong (\Q/\Z)^k \oplus \R$ pour un certain $k$.
Donc si $G$ est finiment engendré, $\R/G\cong (\Q/\Z)^k \oplus \R$ (en tant que groupes ! pas de topologie ici) - c'est donc raisonnable que tu aies du mal à te le représenter, de manière générale.
Si $G$ est un sous-groupe dense de $\Bbb R$, la topologie de $\Bbb R/G$ est grossière, non ? Puisque $0$ est dense comme l'a dit Maxtimax, et c'est un groupe topologique.
Édit : ma conclusion est fausse
Il faut maintenant passer à $n\in \N$. Pour ce faire, tu peux utiliser la densité de $\Z+2\pi\Z$ et essayer de montrer celle de $\N+2\pi\Z$
Je ne sais plus où j'avais lu que "du point de vue d'un enfant, tout est neuf".
Certains sujets sont condamnés à être répétés encore et encore ad vitam aeternam, sur les forums de maths comme dans les autres situations didactiques.
Pour tout $n \in \mathbb N$ et $a_{-n}, \dots, a_n$ des nombres complexes, en notant $h : t \mapsto \sum_{-n \leq k \leq n} a_k e^{2i \pi kt}$, on a $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N h\left(\frac{n}{2\pi}\right) = \sum_{-n \leq k \leq n} a_k \left(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{ikn}\right) = a_0 + \sum_{\underset{k \neq 0}{-n \leq k \leq n}} a_k \left(\frac{1}{N} \frac{1-e^{ik(N+1)}}{1 - e^{ik}}\right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} a_0 = \int_0^1 h(t) \,\mathrm{d}t.$$ Ici j'ai utilisé que $\pi$ était irrationnel, pour justifier que $e^{ik}$ n'est jamais égal à $1$ !
Maintenant, par le théorème de Stone-Weierstrass trigonométrique (ou le théorème de Féjer), on peut approcher uniformément sur $[0, 1]$ toute fonction continue $f$ $1$-périodique par des polynômes trigonométriques de période $1$ comme $h$ ci-dessus, et on vérifie facilement que ça implique que $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f\left(\frac{n}{2\pi}\right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 f(t) \,\mathrm{d}t.$$
Soit maintenant un segment du cercle $I = \{e^{it} \mid \alpha \leq t \leq \beta\}$ (avec $0 \leq \beta - \alpha \leq 2\pi$). On peut approcher l'indicatrice de $J = \exp_i^{-1}(I)$ (où $\begin{align*} [0, 1] \longrightarrow \mathbb S^1\\\exp_i : t \mapsto \exp(2i \pi t)\end{align*}$) par des fonctions continues $1$-périodiques (convergence simple et en norme $1$ sur $[0, 1]$, faire un dessin) et le dernier résultat donne alors $$\frac{1}{N} \#\{n \in \{1, \dots, N\} \mid e^{in} \in I\} \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} |J| = \frac{\beta - \alpha}{2\pi}.$$
On peut en fait montrer la même chose pour des sous-ensembles plus riches du cercle, mais passons. En particulier, la suite $(e^{in})_{n \in \mathbb N}$ rencontre tous les ouverts non vide du cercle, et donc $(\sin n)_{n \in \mathbb N}$ est dense dans $[-1, 1]$. En fait on obtient même que $(\sin n)_{n \in \mathbb N}$ est équirépartie dans $[-1, 1]$ selon la mesure $\frac{\mathrm{d}x}{\pi \sqrt{1 - x^2}}$.
Ce que j'ai fait, c'est essentiellement la démonstration du critère d'équirépartition de Weyl. En fait il se généralise très bien en dimension supérieure :
Théorème de Kronecker-Weyl discret : Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ des réels tels que $\{\lambda _1, \dots, \lambda_r, \pi\}$ soit linéairement indépendant sur $\mathbb Q$. Alors la suite $\left(\left(e^{i\lambda_1 n}, \dots, e^{i \lambda_r n}\right)\right)_{n \in \mathbb N}$ est équirépartie dans $\left(\mathbb S^1\right)^r$.
Je ne n’arrive à retrouver le pdf sur le web....
Sait-on des choses sur la réciproque ?
Soit $\{u_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement croissante telle que $\{\sin(u_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ soit dense dans $[-1;1]$.
Que peut-on dire de la suite $\{u_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ?
Cordialement,
Rescassol
Par exemple, que la somme des inverses diverge ?
Cordialement,
Rescassol
PS: Je suppose que $u_0>0$.
Non car la suite $(u_n)$ peut croître arbitrairement vite. Par exemple, si $u_n := n +\pi n^2$, alors $\sum \frac1{u_n}$ converge et les $\sin(u_n)=\sin(n)$ sont denses dans $[-1,1]$.
Je dirais qu'on ne peut pas dire plus que la densité dans $[-\pi/2,\pi/2]$ des $f(u_n)$ où $f:\Bbb R\to\,[-\pi/2,\pi/2]$ est l'unique fonction en dents $2\pi$-périodique telle que $f_{|[-\pi/2,\pi/2]}=\mathrm{id}$ et $f(\cdot+\pi)=-f$ (conséquence du fait que $s:=\sin_{|[-\pi/2,\pi/2]}^{|[-1,1]}$ est un homéomorphisme et $\sin=s\circ f$). Le fait que $(u_n)$ croisse n'a pas l'air d'avoir une importance.
Quelle est sa démarche pour prouver ce résultat spectaculaire ?
J’ai lu plusieurs fois son article , mais je ne comprends pas (probablement par un manque de niveau) comment il obtient cette densité.
Pour consulter le pdf Ramaré voir le post de LP quatre post au dessus.
Je m’attendais à un résultat du genre pour tout x dans [-1;1] il existe une suite extraite de $(\sin(p_n))_n$ qui converge vers $x$
ou l’adhérence de l’ensemble $(\sin(p))$ est $[-1;1] $.
Pas de chance, si l'on avait demandé la densité de $\{\cos n \mid n\in\mathbb N\}$ dans $[-1,1]$, alors la densité de $\mathbb Z+ 2\pi \mathbb Z$ aurait suffi et le résultat bien connu concernant les sous-groupes additifs de $\mathbb R$ aurait permis de conclure. Mais ce n'est pas le cas.
Lorsqu'on a a parlé de cette question il y a je ne sais plus combien de temps, j'ai signalé le résultat suivant.Une partie $S$ de $\mathbb R$ additivement stable, et qui a un élément strictement positif et un élément strictement négatif, est de l'un des trois types suivants :
(1) $S= \mathbb R$ ;
(2) $S= \mathbb Z a, a>0$ ;
(3) $S$ dense dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide.Et là, on peut conclure.
Bonne nuit
Fr. Ch.