Densité de $\{\sin n\}$ dans $[-1,1]$

Ça a comme un air de déjà vu...

Est-ce que $\{\sin (n)\ \vert \ n \in \mathbb{Z}\}$, tu sais démontrer que c'est dense ? Est-ce que tu sais démontrer que si $f : E \rightarrow F$ est continue, surjective, et si $A \subset E$ est dense dans $E$, alors $f(A)$ est dense dans $F$ ?

EDIT : Correction du TeX.

Il faudra répondre aussi à la première question de Georges Abitbol - enfin ça pourra être utile.

Pour ton PS, $\R/G$ est un truc assez dégoûtant, pas étonnant que t'arrives pas à le visualiser. Si $G$ est dense (et n'est pas $\R$, évitons les cas idiots), il n'est pas fermé et en particulier $\R/G$ n'est pas séparé. $0$ y est dense, par exemple. A ma connaissance, sa topologie (et donc une partie de sa "représentation mentale") n'apporte pas grand chose.

En termes de groupes, on ne peut pas en dire énormément non plus : $\R$ est une somme directe de $\R$ copies de $\Q$, donc en particulier certains de ses quotients sont (isomorphes à) $\Q^n$, d'autres à $\Q \oplus \Q/\Z$ ou plein d'autres choses encore plus bizarres. On peut dire quelques trucs lorsque $G$ est finiment engendré :
dans ce cas $\R$ se décompose en $\Q^n \oplus \R$ (pas topologiquement hein !) avec $G\subset \Q^n$. En particulier, en prenant un dénominateur assez grand, on peut supposer $G\subset \Z^n$, et donc on peut supposer que $G$ va être de la forme $d_1\Z \oplus ... \oplus d_n\Z$ avec $d_n\mid ... \mid d_1$, et donc $\Q^n/G \cong (\Q/\Z)^k \oplus \Q^r$ pour certains $k,r$, et donc $\R/G \cong (\Q/\Z)^k \oplus \R$ pour un certain $k$.
Donc si $G$ est finiment engendré, $\R/G\cong (\Q/\Z)^k \oplus \R$ (en tant que groupes ! pas de topologie ici) - c'est donc raisonnable que tu aies du mal à te le représenter, de manière générale.

Bon tu as déjà prouvé le résultat de Georges : que le résultat est vrai si on autorise $n\in \Z$ !

Il faut maintenant passer à $n\in \N$. Pour ce faire, tu peux utiliser la densité de $\Z+2\pi\Z$ et essayer de montrer celle de $\N+2\pi\Z$

Une autre manière de montrer que $(\sin n)_{n \in \mathbb N}$ est dense dans $[-1, 1]$, qui en fait montre plus que ça et qui a le mérite de se généraliser en plus grandes dimensions :

Pour tout $n \in \mathbb N$ et $a_{-n}, \dots, a_n$ des nombres complexes, en notant $h : t \mapsto \sum_{-n \leq k \leq n} a_k e^{2i \pi kt}$, on a $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N h\left(\frac{n}{2\pi}\right) = \sum_{-n \leq k \leq n} a_k \left(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{ikn}\right) = a_0 + \sum_{\underset{k \neq 0}{-n \leq k \leq n}} a_k \left(\frac{1}{N} \frac{1-e^{ik(N+1)}}{1 - e^{ik}}\right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} a_0 = \int_0^1 h(t) \,\mathrm{d}t.$$ Ici j'ai utilisé que $\pi$ était irrationnel, pour justifier que $e^{ik}$ n'est jamais égal à $1$ !

Maintenant, par le théorème de Stone-Weierstrass trigonométrique (ou le théorème de Féjer), on peut approcher uniformément sur $[0, 1]$ toute fonction continue $f$ $1$-périodique par des polynômes trigonométriques de période $1$ comme $h$ ci-dessus, et on vérifie facilement que ça implique que $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f\left(\frac{n}{2\pi}\right) \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^1 f(t) \,\mathrm{d}t.$$

Soit maintenant un segment du cercle $I = \{e^{it} \mid \alpha \leq t \leq \beta\}$ (avec $0 \leq \beta - \alpha \leq 2\pi$). On peut approcher l'indicatrice de $J = \exp_i^{-1}(I)$ (où $\begin{align*} [0, 1] \longrightarrow \mathbb S^1\\\exp_i : t \mapsto \exp(2i \pi t)\end{align*}$) par des fonctions continues $1$-périodiques (convergence simple et en norme $1$ sur $[0, 1]$, faire un dessin) et le dernier résultat donne alors $$\frac{1}{N} \#\{n \in \{1, \dots, N\} \mid e^{in} \in I\} \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} |J| = \frac{\beta - \alpha}{2\pi}.$$

On peut en fait montrer la même chose pour des sous-ensembles plus riches du cercle, mais passons. En particulier, la suite $(e^{in})_{n \in \mathbb N}$ rencontre tous les ouverts non vide du cercle, et donc $(\sin n)_{n \in \mathbb N}$ est dense dans $[-1, 1]$. En fait on obtient même que $(\sin n)_{n \in \mathbb N}$ est équirépartie dans $[-1, 1]$ selon la mesure $\frac{\mathrm{d}x}{\pi \sqrt{1 - x^2}}$.

Ce que j'ai fait, c'est essentiellement la démonstration du critère d'équirépartition de Weyl. En fait il se généralise très bien en dimension supérieure :

Théorème de Kronecker-Weyl discret : Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ des réels tels que $\{\lambda _1, \dots, \lambda_r, \pi\}$ soit linéairement indépendant sur $\mathbb Q$. Alors la suite $\left(\left(e^{i\lambda_1 n}, \dots, e^{i \lambda_r n}\right)\right)_{n \in \mathbb N}$ est équirépartie dans $\left(\mathbb S^1\right)^r$.

Tu penses à ce texte d'Olivier Ramaré ?

Bonjour,

Par exemple, que la somme des inverses diverge ?

Cordialement,

Rescassol

PS: Je suppose que $u_0>0$.

A la page 41 Olivier Ramage écrit « ici s’achève la preuve la suite des sin(p) est dense dans [-1;1]
Quelle est sa démarche pour prouver ce résultat spectaculaire ?
J’ai lu plusieurs fois son article , mais je ne comprends pas (probablement par un manque de niveau) comment il obtient cette densité.
Pour consulter le pdf Ramaré voir le post de LP quatre post au dessus.
Je m’attendais à un résultat du genre pour tout x dans [-1;1] il existe une suite extraite de $(\sin(p_n))_n$ qui converge vers $x$
ou l’adhérence de l’ensemble $(\sin(p))$ est $[-1;1] $.

@etanche : il faut lire les pages 7 et 8 "Plan de la bataille".