Les connexes de $\Q$
dans Topologie
Bonjour. Pour prouver que que les connexes de $\R$ sont les intervalles, j’utilise la propriété de la borne supérieure. Mais dans $\Q$, quels sont les connexes, s’ils sont caractérisés?
Merci.
PS : intuitivement j’aurais dit les intervalles aussi, mais je sens que la réponse est étonnante. En fait j’ai un doute sur la topologie usuelle de $\Q$. Au fait, dans les deux cas la topologie choisie est celle de l’ordre, pour l’ordre usuel.
Merci.
PS : intuitivement j’aurais dit les intervalles aussi, mais je sens que la réponse est étonnante. En fait j’ai un doute sur la topologie usuelle de $\Q$. Au fait, dans les deux cas la topologie choisie est celle de l’ordre, pour l’ordre usuel.
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Réponses
Edit : je me rends compte que $\Q$ est un sacré bazar topologique.
Les connexes de Q sont les points. On dit que Q est totalement discontinu. Pour le montrer, tu peux utiliser la densité de R\Q dans R.
Édit : Oui pour la question du deuxième message.
J'ai indicé avec $\mathbb Q$ pour indiquer que je considère des intervalles de rationnels (donc sans réel).
Edit : je n'avais pas vu les réponses données...
PS. Merci pour vos réponses ! J’oublie trop souvent de remercier les intervenants qui me répondent.
Ça semble impossible.
On peut concevoir des milliards de clichés à la seconde mais ça donnerait un film dans $\mathbb Q$.
Bon, je me dis par contre que tout est continu en physique.
Les températures sur le globe, la pression, etc.
Une grande partie de la physique est construite sur des phénomènes discontinus (atomes, particules, champs discrets, ..) que l'on traite ensuite de façon plus globale en utilisant les mathématiques du continu. Ainsi, la notion de température n'est que la mesure globale de l'agitation thermique de particules (ou de champs quantifié pour la température de spin); la pression d'un gaz est l'effet sur une surface des chocs des molécules du gaz,; etc.
Cependant, ton idée d'espace discret n'est pas nouvelle, elle a bien sûr été pensée souvent (surtout à l'époque de Planck et Einstein, initiateurs des raisonnements discrets dans une physique jusque là continue). A ma connaissance, personne n'a abouti à quoi que ce soit d'utilisable. Le fait de pouvoir utiliser des outils classiques, comme la dérivation, est quand même assez important.
Cordialement.
Je suis d’accord. C’était davantage pour convaincre.
Homo Topi: il a été déclaré qu'on travaillait sur la topologie de l'ordre, c'est la même et on a pas besoin de la topologie sur $\mathbb{R}$ pour la définir. Je crois que Poirot regrettait qu'on fasse explicitement appel à $\sqrt{2}$ plutôt que de donner une définition des ouverts proposé par Dom sans références extérieures (parce que c'est un peu plus long, mais complétement possible et propre).
Edit: Désolé Calli, c'est la deuxième fois que je te grille la politesse, je vais me calmer. (:D
Homo Topi, $\Bbb Q$ est naturellement muni de la topologie de l'ordre.
Edit : Zut, je répète ce que Titi vient d'écrire.
Premier cas : on suppose que $A$ est d'intérieur vide. Alors, pour tout $x\in A$, $\{x\}$ est ouvert dans $A$, donc $A$ n'est pas connexe (il contient au moins deux éléments).
Deuxième cas : on suppose que $A$ n'est pas d'intérieur vide. Alors il existe $a,b\in A$ tels que $a\neq b$ et $]a,b[\subset A$. La fonction $f : ]a,b[\rightarrow ]0,1[$ définie par $f(t) = \frac{1}{b-a}(t-a)$ est un homéomorphisme. Soit $R$ l'ensemble $\{x\in ]0,1[\mid x^2<\frac{1}{2} \}$. Montrons que $R$ est ouvert dans $]0,1[$. Cela est une conséquence du lemme suivant :
Lemme. L'ensemble $D = \left \{\dfrac{p^2}{q^2}\mid \text{pgcd}(p,q) = 1\right \}$ est dense dans $\Q$
Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout $n\geq 1$, il existe $x\in D$ tel que $0<x<\frac{1}{n}$, soit $1/x>n$. Fixons un nombre premier $p$. Comme $\Q$ est archimédien, il existe $q$ un entier que l'on peut choisir premier tel que $n<q^2\times \frac{1}{p^2}$. Le résultat en découle.
Bon, après, peut-être que je dis des bêtises, hein...
Ainsi les parties connexes de $A$ sont tous des singletons ou bien l'ensemble vide.
Un ensemble totalement ordonné et dénombrable de plus de 2 éléments, me semble-t-il ne sera jamais connexe (tu devrais faire l'exo de rédiger ça (c'est facile), ça te ferait pluss de bien que d'évoquer des racines carrées). Pour les ordres partiels, je préfère ne pas dire de sottise en y ayant réfléchi seulement 0.2 seconde, mais probablement que idem: connexes que dans les cas triviaux.
Tu as une surjection de $\N$ sur $\Q^+$ sous la forme $2^p(2q+1)\mapsto (q/(p+1))$ si tu veux (pour que ce ne soit pas ça qui te gène.
Concernant les espaces de la physique, la question peut paraitre "naivement" sympa, mais n'a plus de sens dans le paradigme quantique, dans la mesure où tu n'as plus de points. Donc c'est certes souvent présenté comme "discret", mais c'est une vulgarisation, tu as une sorte "d'étalement" du ponctuel qui ne peut pas être comparé à un étalement "dans l'espace".
Je dirais, pour sortir de la physique contrète, que le plus impressionnant (en tout cas pour moi quand je l'ai découvert), c'est le fait qu'on puisse prouver qu'il n'existe pas de possibilité de représentation des solides. En effet:
$$]2,5[; ]5,7[$$
ne sont pas en contact, car il y a encore la place prise par $5$ entre les deux.
$$[2,5]; [5,7]$$
enfreignent l'idée absolue de solide, puisqu'ils arrivent à s'interpénétrer pour contenir tous deux $5$.
Les autres cas ne sont pas symétriques. Sauf à considérer que $5$ a une essence particulaire, on se demande dans le premier cas, comment si on pousse un intervalle (comme un chariot), le deuxième "devine" qu'il a intérêt à se dépêcher d'avancer aussi parce que sinon il sera "pénétré" par le premier.
Tu peux retrouver positivement ce drame en imaginant un igloo au pôle nord, doté d'un radiateur magique, qui ne fait remonter la température $t$ que quand $t<25$ degrés. Et qui le reste du temps est éteint. Tu devrais faire l'exercice que ça mène à une contradiction, établissant qu'il "faut du temps" pour mesurer la température, aucun radiateur ne la mesure instantanément dans toute la pièce, même pour sa moyenne.