Fonction continue et compact

Miniportecle · April 2020

Bonjour,

Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb R \times \mathbb R^2$ dans $\mathbb R$. Soit $I$ un ensemble fermé borné dans $\mathbb R$.

Je définis l'ensemble $E = \{(x, (y_1, y_2)) \in I \times \mathbb R^2 \text{ tel que } f(x, (y_1, y_2)) = C\}$
Pour un certain $C$ constant dans $\mathbb R$.

Sous quelles conditions (en plus ou pas), l'ensemble $E$ est-il compact ?

Merci

Calli · April 2020

Bonjour,
$f$ part de $\Bbb R^2$, de $\Bbb R^3$ ou de $I\times \Bbb R^2$ ? Ça n'est pas clair.

christophe c · April 2020

Relis-toi.

Miniportecle · April 2020

$f$ part de $\mathbb R \times \mathbb R^2$ pardon

christophe c · April 2020

"Sous quelles conditions", c'est rtop vague, vue tes hypothèses ($I$ est compact), c'est comme si tu demandais sous quelles conditions les images réciproques par des continues $\R^2\to \R$ des singletons sont compactes (le $I$ ne joue pas, et ton lapsus était révélateur ;-) )

Calli · April 2020

Une condition suffisante est que $f$ soit propre, i.e. pour tout $K\subset \Bbb R$ compact, $f^{-1}(K)$ est compact. Dans le cas présent, ça équivaut à $|f(x)| \xrightarrow[\|x\|\to\infty]{} \infty$.