Argument locale compacité
Bonjour,
Je sais comment démontrer élémentairement que $\Q$ n'est pas localement compact dans $\R$ muni de la topologie usuelle. Toutefois, la preuve que je connais est un peu fastidieuse selon moi.
J'ai lu quelque part un truc beaucoup plus expéditif (voir ci-dessous). Toutefois, je ne comprends pas le passage : "Donc $K$ contient une suite de rationnels n'ayant pas de valeur d'adhérence rationnelle".
Je crois que le texte oublie de dire $x\in ]\alpha,\beta[\cap\Q\subset\K$.
Par densité, je vois comment construire une suite de rationnels dans $]\alpha,\beta[$ mais après je bloque.
Je sais comment démontrer élémentairement que $\Q$ n'est pas localement compact dans $\R$ muni de la topologie usuelle. Toutefois, la preuve que je connais est un peu fastidieuse selon moi.
J'ai lu quelque part un truc beaucoup plus expéditif (voir ci-dessous). Toutefois, je ne comprends pas le passage : "Donc $K$ contient une suite de rationnels n'ayant pas de valeur d'adhérence rationnelle".
Je crois que le texte oublie de dire $x\in ]\alpha,\beta[\cap\Q\subset\K$.
Par densité, je vois comment construire une suite de rationnels dans $]\alpha,\beta[$ mais après je bloque.
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Réponses
et j'ai pas bien aussi compris la démarche exact du document , mais je vois bien que $ \mathbb{K} $ étant supposé un voisinage compact et contient $ ]\alpha , \beta[ \cap \mathbb{Q} $ donc contient aussi ses valeurs d'adhérences , à savoir le $ \alpha $ et $ \beta $ et aussi ses éléments rééls non rationnels. :-D
Pour la première par contre, bof.
Cordialement.
Voilà comment je ferais : comme $\Q$ est dense dans $\R$,tout élément $l$ de $]\alpha,\beta[$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $\Q$. Quitte à tronquer cette suite à partir d'un certain rang, on peut supposer que les éléments de cette suite sont dans $]\alpha,\beta[\cap\Q$. En particulier, $l$ est valeur d'adhérence de $(x_n)$.
Je n'arrive pas à soulever de contradiction.
Cordialement.
Mais tu devrais jouer à "je n'ai pas le droit de connaitre IR" pour rédiger une preuve.