Argument locale compacité

topopot
topopot
dans Topologie
Bonjour,

Je sais comment démontrer élémentairement que $\Q$ n'est pas localement compact dans $\R$ muni de la topologie usuelle. Toutefois, la preuve que je connais est un peu fastidieuse selon moi.

J'ai lu quelque part un truc beaucoup plus expéditif (voir ci-dessous). Toutefois, je ne comprends pas le passage : "Donc $K$ contient une suite de rationnels n'ayant pas de valeur d'adhérence rationnelle".
Je crois que le texte oublie de dire $x\in ]\alpha,\beta[\cap\Q\subset\K$.

Par densité, je vois comment construire une suite de rationnels dans $]\alpha,\beta[$ mais après je bloque.100640

Réponses

  • Twisted_Fate
    Twisted_Fate
    Bonjour , Concernant votre première remarque , oui , effectivement $ x \epsilon ]\alpha , \beta[ \cap \mathbb{Q} \subset \mathbb{K} $ .
    et j'ai pas bien aussi compris la démarche exact du document , mais je vois bien que $ \mathbb{K} $ étant supposé un voisinage compact et contient $ ]\alpha , \beta[ \cap \mathbb{Q} $ donc contient aussi ses valeurs d'adhérences , à savoir le $ \alpha $ et $ \beta $ et aussi ses éléments rééls non rationnels. :-D
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Tout élément de $]\alpha, \beta[$ est valeur d'adhérence d'une suite de $]\alpha, \beta[\cap \Q$. Tu peux certainement trouver un irrationnel dans $]\alpha, \beta[$
  • topopot
    topopot
    Pour la seconde phrase, d'accord car $\R\setminus\Q$ est dense dans $\R$.

    Pour la première par contre, bof.
  • gerard0
    gerard0
    Pourtant c'est la conséquence assez immédiate de le densité de $\mathbb Q$.

    Cordialement.
  • topopot
    topopot
    En fait je pensais également ça, le truc qui me fait douter c'est qu'on se focalise sur "valeur d'adhérence".

    Voilà comment je ferais : comme $\Q$ est dense dans $\R$,tout élément $l$ de $]\alpha,\beta[$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $\Q$. Quitte à tronquer cette suite à partir d'un certain rang, on peut supposer que les éléments de cette suite sont dans $]\alpha,\beta[\cap\Q$. En particulier, $l$ est valeur d'adhérence de $(x_n)$.

    Je n'arrive pas à soulever de contradiction.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... Une suite de rationnels qui converge vers un irrationnel ne converge pas dans $\mathbb Q$. La contradiction est là, dans ton compact elle doit converger vers un rationnel.

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    C'est dommage de passer par IR. En plus un compact c'est un fermé, donc s'il est dense dans $[a,b]$ ce sera $[a,b]$ tout entier, (celui de IR).

    Mais tu devrais jouer à "je n'ai pas le droit de connaitre IR" pour rédiger une preuve.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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