Démontrer surjectivité d'une différentielle

Jocelin
Jocelin
dans Topologie
Bonjour
Je m'interroge sur la façon dont on peut démontrer qu'une application de classe $C^1$ est une submersion (et donc que sa différentielle est surjective).

Pour une application $g$ de $A \subset \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, suffit-il de montrer que la matrice jacobienne de $g$ ne s'annule pas pour tout point de $A$ ?

Edit : j'imagine qu'il faut plutôt montrer qu'elle est de rang maximal, ce qui revient à montrer qu'elle est inversible quand elle est carrée, non nulle quand elle est un vecteur ligne ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour,
    Dans le cas d'une fonction qui est à valeurs dans $\R$, la surjectivité de sa différentielle se traduit effectivement par le fait que sa matrice jacobienne en tout point (ou son gradient si on préfère) soit non nulle.
    Si la fonction est à valeurs dans $\R^p$, cela se traduit par le fait que la matrice jacobienne doit être de rang $p$, ce qui peut par exemple se faire en cherchant un mineur non nul d'ordre $p$.
    Soit $f\ \colon (x,y,z)\mapsto (x-y+3z,x^2-y^2+3z^2)$ définie sur $\R^3$. Quel est l'ouvert maximal $U$ sur lequel $f$ est une submersion ? $U$ est-il connexe ?
  • purple
    purple
    Une application de classe $C^1$ définie sur $U \subset \mathbb{R^n}$ à valeurs dans $\mathbb{R^m}$ est une submersion si et seulement si sa différentielle est surjective en tout point de $U$, si et seulement si le rang de la matrice jacobienne est égal à celui de l'espace d'arrivée si et seulement si $m \leq n$ et les lignes de la matrice forment une famille libre.
    En l'occurrence dans ton cas : oui !
  • Jocelin
    Jocelin
    Merci à tous les deux pour vos réponses rapides qui viennent bien enrichir et éclaircir mon cours !
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