Ouverts simplements connexes de C
Si j'ai bien compris, une condition suffisante pour que toute fonction continue ait une primitive sur un ouvert de C est que cet ouvert soit simplement connexe. La réciproque est-elle exacte, à savoir : pour que toute fonction continue sur un ouvert de C ait une primitive, il faut que cet ouvert soit simplement connexe ? (J'espère que la question est bien posée. Merci.)
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Réponses
Pense (très fort) à la fonction nulle. En ces temps difficiles, on ne pense pas assez à elle.
e.v.
Je pense plutôt que la réponse est oui, si on suppose que $\Omega$ est connexe (merci O.J.) (et ne comprends pas la remarque d'ev) - on pourra jeter un oeil au théorème 2 ici, sachant que le point (4) de ce théorème est classiquement équivalent au fait que toute fonction holomorphe sur $\Omega$ ait une primitive.
(il y a très certainement de meilleures références, du moins des plus canoniques, mais je ne les connais pas; j'ai juste cherché les mots dont je me souvenais de mon cours d'analyse complexe comme "homologiquement trivial"; parce que je me souvenais qu'on avait mentionné la réciproque)
Je me permets donc de reprendre ma question. Le théorème de Moreira (par exemple), nous dit ceci : soit U un ouvert (quelconque) de C, f une fonction continue sur U. Si l'intégrale (curviligne) de f est nulle le long de tout lacet de U, alors f est holomorphe sur U.
L'homotopie de chemins nous apprend ensuite que si U est simplement connexe, alors cette condition de nullité est vérifiée par toute fonction continue sur U.
Le lien continuité-dérivabilité semble donc bien liée à la topologie de C (et non une "évidence" type Cauchy).
D'où la question : quels sont les ouverts de C sur lesquels continuité implique dérivabilité ? Autre manière de le dire : est-ce que la condition d'être simplement connexe est nécessaire et suffisante. Suffisante, on le sait (Moreira+homotopie). Nécessaire : c'est la question...
Je n'exclus pas que ma question soit due, en fait, à une bonne grosse ignorance de ma part. Si c'est le cas, j'en suis confus.
Merci à tous !
Beh... non :-S prendre $U = \mathbb C$ et n'importe quelle fonction continue non holomorphe. Ou si tu veux absolument un ouvert borné, $D(0,1)$. Des fonctions continues non holomorphes, je peux t'en fournir beaucoup. Le problème c'est que l'intégrale le long d'un chemin n'est pas invariante par homotopie en général (première indication qu'il y a de la complexité dans cette affaire : l'intégrale le long d'un chemin fait intervenir sa dérivée, donc si ton homotopie n'est pas elle-même dérivable... - bon ça, on peut le régler car toute homotopie est homotope à une homotopie différentiable, mais ça ne règle pas tout)
Donc non : la différence continuité-différentiabilité est en partie liée à la topologie de $\mathbb C$, mais c'est vraiment pas le seul point (et si j'ose dire, vraiment pas le point le plus important)
Donc la réponse à ta question c'est : être l'ensemble vide. C'est le seul ouvert de $\mathbb C$ sur lequel continuité implique dérivabilité. C'est relativement facile à prouver, en utilisant par exemple le théorème de zéros isolés.
Être simplement connexe n'est largement pas suffisant.
Si un ouvert U est simplement connexe, alors tout fonction holomorphe y admet une primitive.
La réciproque est-elle vraie ? A savoir :
Soit U un ouvert tel que toute fonction holomorphe sur U admet une primitive sur U. Alors U est simplement connexe.
J'espère ne pas abuser de ta patience. Merci.
Je me permets donc de redemander si le théorème suivant est vrai ou faux : "Si U est un ouvert tel que toute fonction holomorphe sur U admet une primitive sur U, alors U est simplement connexe."
S'il est faux, y a-t-il un contre exemple, donc un ouvert de C, non simplement connexe, sur lequel toute fonction holomorphe admette une primitive.
A nouveau, merci !
1) Soit U un ouvert de C. Caractériser les lacets dont la trajectoire est dans U, et tels que sur ces lacets l'intégrale de chemin de toute fonction analytique soit nulle.
2) Caractériser les ouverts dont tous les lacets ont cette propriété.
Après beaucoup de recherches, je n'ai rien trouvé d'aussi fin.