Injection topologique
dans Topologie
Bonjour à tous
On sait que, $ \mathbb{R} \ \simeq \ \mathbb{Z} \oplus [0,1[ \ \simeq \ \mathbb{Z} \oplus S^1 $.
Cela signifie-t-il que, $ S^1 $ s'injecte dans $ \mathbb{R} $ ?
Merci d'avance.
On sait que, $ \mathbb{R} \ \simeq \ \mathbb{Z} \oplus [0,1[ \ \simeq \ \mathbb{Z} \oplus S^1 $.
Cela signifie-t-il que, $ S^1 $ s'injecte dans $ \mathbb{R} $ ?
Merci d'avance.
Réponses
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Comment définis-tu tes deux isomorphismes ?
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"on sait que" chez Pablo veut dire "j'ai copié ce petit bout d'écriture mathématique dans un document que je ne comprends pas (et je ne sais même pas ce que veulent dire les notations)"
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Cyrano a écrit:Comment définis-tu tes deux isomorphismes ?
Ce sont juste des bijections, il me semble, donc, ce ne sont pas des isomorphismes. Non ? -
Tiens un groupe sans torsion à gauche et un groupe avec torsion à droite. Encore une magnifique preuve de la conjecture de Hodge, en passant par l'étape Pabloesque cruciale $0=1$.
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Un isomorphisme d’ensembles (tout nus, munis de rien) est par définition une bijection.
Mais tu choisis d’utiliser des termes et des symboles pour faire bien, pour te faire du bien. Chacun sa thérapie et celle-ci n’est pas cher d’ailleurs.
Zut, je m’étais promis de ne plus interagir.
Mais la conjoncture est exceptionnelle. Allez on va dire ça. -
Par exemple, si on définit $ \varphi \ : \ \mathbb{Z} \oplus S^1 \to \mathbb{R} $ par, $ \varphi ( n , e^{ 2 \pi i t } ) = e^{ 2 n \pi i t } $, alors, $ \varphi $ est un homéomorphisme. Non ?
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Je ne savais pas que $e^{ 2 n \pi i t } \in \mathbb R$ :-D
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Que veut dire $\mathbb Z \oplus [0,1[$ ?
Pourquoi penses-tu que $[0,1[\simeq S^1$ ? (dans quelle catégorie ?)
Pourquoi penses-tu que $e^{2i\pi nt} \in \mathbb R$ ?
Tant de questions sans réponses, telles qu'aucun de tes messages n'a de sens à cause d'elles. Réfléchis-y, avant de poser des questions, commençant par des "on sait" qui sont faux.
"On sait que $5\times 6 = 5+6$. Cela signifie-t-il que $3\leq -56$ ?" -
Je voulais écrire, $ \varphi \ : \ \mathbb{Z} \oplus S^1 \to \mathbb{R} $ est définie par, $ \varphi ( n , e^{ 2 \pi i t } ) = \cos ( 2 n \pi i t ) $, alors, $ \varphi $ est un homéomorphisme.
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Il est bien connu que la fonction cosinus est surjective dans $\mathbb R$.
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Je reviens dans un quart d'heure, parce que, je n'ai pas mangé depuis toute la journée.
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Je voulais écrire, $ \varphi \ : \ \mathbb{Z} \oplus S^1 \to \mathbb{R} $ est définie par, $ \varphi ( n , e^{ 2 \pi i t } ) = n + \cos ( 2 \pi i t ) $, alors, $ \varphi $ est un homéomorphisme. Non ?
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Maxtimax a écrit:Pourquoi penses-tu que $[0,1[\simeq S^1$ ?
On a, $ [0,1[ \ \simeq \ [0,1] / (0=1) \ \simeq \ S^1 $. Non ? -
Personne ne laisserait $\cos ( 2 \pi i t )$ comme ça. J'imagine que tu ne sais pas comment on l'exprime autrement?
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Maxtimax a écrit:Que veut dire $\mathbb Z \oplus [0,1[$ ?
$\mathbb Z \oplus [0,1[ = \mathbb Z \times [0,1[ = \mathbb Z \sqcup [0,1[ $ -
Pablo:
Si je retire un point à $[0;1[$ que se passe-t-il?
Si je retire un point à $S^1$ que se passe-t-il?
NB: il est conseillé de faire un dessin. -
Fin de partie
Si on retire un point à $ [0,1[ $, on obtient deux composantes connexes.
Si on retire un point à $ S^1 $, on obtient une seule composante connexe. -
Ah tiens c'est marrant je ne savais pas que la somme disjointe d'espaces topologiques étaient leur produit :-D
Je ne savais pas non plus qu'un espace compact pouvait être homéomorphe à un espace pas compact
J'en apprends beaucoup sur la topologie aujourd'hui -
Non. $ \mathbb{Z} \sqcup [0,1[ $ signifie, $ \mathbb{Z} \sqcup [0,1[ = \displaystyle \bigcup_{ n \in \mathbb{Z} } ( \{ n \} \times [0,1[ ) = \displaystyle \bigcup_{ n \in \mathbb{Z} } ( n + [0,1[ ) = \mathbb{R} $.
Où est le problème qu'un compact et un non compact soient en bijection Maxtimax ? Ce qui te semble peut être, être faux, c'est qu'ils soient homéomorphes, ça oui, c'est faux, mais, ils peuvent tout à fait être en bijection. Non ? -
N'impprte quoi, si tu inventes tes propres notations, au moins définis les.
Tu parles de bijection ou d'homéomorphisme ? -
Je parle de bijection, et non d'homéomorphisme.
On a,
$ \mathbb{Z} \sqcup [0,1[ = \displaystyle \bigcup_{ n \in \mathbb{Z} } ( \{ n \} \times [0,1[ ) = \displaystyle \bigcup_{ n \in \mathbb{Z} } ( n + [0,1[ ) = \mathbb{R} $
et,
$ \mathbb{Z} \times [0,1[ = \mathbb{R} $.
Donc, $ \mathbb{Z} \times [0,1[ = \mathbb{Z} \sqcup [0,1[ $. Non ? -
Bon bah pourquoi tu mets ça dans le forum topologie, parle d' "injection topologique", et parle d' "homéomorphismes" depuis le début ?
Et à nouveau, pourquoi tu inventes des notations qui sont en conflit avec celles qui existent ?? -
Et donc $\sqcup=\times$ :)o. Le prochain théorème c'est "carré = triangle", etc.
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Bref,
- $ \mathbb{Z} \oplus S^1 $ et $ \mathbb{R} $ sont en bijection.
- $ \varphi \ : \ ( n , e^{ 2 \pi i t } ) \in \mathbb{Z} \oplus S^1 \to n + \cos ( 2 \pi t ) \in \mathbb{R} $ est continue. Non ?
Donc, $ S^1 $ s'injecte topologiquement ( $ \mathcal{C}^{0} $ - immersion ) dans $ \mathbb{R} $. Non ? -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1999388,1999570#msg-1999570
Pablo, ne vas pas croire qu'on te répond "non" parce que tu termines tes messages par "Non ?". Si tu concluais par "Oui ?", on répondrait quand même "non". X:-(
Néanmoins, suis le conseil de Raoul. :-) -
Donc, vous êtes d'accord que, l'injection, $ S^1 \to \mathbb{R} $ est une $ \mathcal{C}^0 $ - immersion ?
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Non.
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Pourquoi ?
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Je ne sais pas trop pourquoi je réponds. Je tiens à préciser que si tu avais la moindre idée de comment démontrer la conjecture de Hodge, ce genre de choses ne devrait évidemment pas te poser autant de problèmes (de base !), mais bon comme tu t'enfermes dans ton délire, ça ne sert pas à grand-chose que j'insiste.
$S^1$ est connexe et compact, donc si on pouvait le plonger dans $\mathbb R$ de manière continue, l'image serait un segment. Je te laisse conclure. -
Non, Poirot. Je ne parle pas de $ \mathcal{C}^0 $ - plongement, mais simplement de $ \mathcal{C}^0 $ - immersion.
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C'est quoi une $\mathcal C^0$-immersion ? (:D
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Une $\mathcal C^{onnerie}$ ?
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Voir ici : http://boowiki.info/art/espaces-normes/immersion-continue.html Poirot.
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Je lis sur ce site : "Si la fonction de barge: est continue, qui est, s'il existe une constante de telle sorte que: pour chaque , puis Il est plongé en permanence dans ."
Voilà qui explique en partie les c...ries que sort Pablo. (:D -
Tu te rends compte que tu pointes vers une page mal traduite par un traducteur automatique ?
Tu te rends compte que tu balances des termes qui n'existent pas ? Tu te rends compte de l'absurdité de tes prétentions mathématiques ? Tu te rends compte que tu ne comprends même pas ce que tu racontes ? -
$ f $ est $ \mathcal{C}^0 $ - immersion, si $ f $ est une injection continue.
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Raoul a écrit:Si la fonction de barge
C'est qui le barge dont il est question? :-D -
OMG c'est pas le moment de dormir les gars : surtout ne pas louper la plongée sous-marine compacte.
Bon allez Pablo, avoue, C'est toi l'auteur de ce site ! (:D -
Pablo a écrit:$ f $ est $ \mathcal{C}^0 $ - immersion, si $ f $ est une injection continue.
Pourquoi m'avoir répondu ce message alors ? -
Poirot,
Parce que tu as parlé de $ \mathcal{C}^0 $ - plongement. Tu as dit que si, $ S^1 $ se plonge de manière continue dans $ \mathbb{R} $, alors, l'image est un segment compact.
Or, $ f $ est un $ \mathcal{C}^0 $ - plongement, signifie que, $ f $ est un homéomorphisme sur son image, contrairement à $ \mathcal{C}^0 $ - immersion qui signifie, tout simplement que $ f $ est une injection continue, c'est à dire, n'est pas une injection bi-continue ( mais simplement continue ) dans le cas d'un $ \mathcal{C}^0 $ - plongement. -
Dans le cas d'un espace compact vers un espace séparé, plongement = injection.
Poirot : on aura tout vu, c'est les fake news littéralement vérifiables 3 messages en haut :-D -
Poirot, Maxtimax,
Vous n'avez pas encore saisi la subtilité,
On a montré que, $ f \ : \ \mathbb{Z} \oplus S^1 \to \mathbb{R} $ était continue et bijective, sur un non compact $ \mathbb{Z} \oplus S^1 $.
On a montré que, $ S^1 \to \mathbb{Z} \oplus S^1 $ était une injection continue.
Par conséquent, $ S^1 $ s'injecte continument sur $ \mathbb{R} $.
Donc, $ i \ : \ S^1 \to \mathbb{R} $ est une $ \mathcal{C}^0 $ - immersion.
Vous êtes d'accord ? -
Non.
(T'as vu j'ai mis "non" alors que t'avais pas mis "non ?") -
Mais explique moi pourquoi.
Qu'est ce que tu m'apprennes lorsque tu me dis que c'est non, alors, que tu ne m'as pas expliqué pourquoi.
Merci. -
Pablo:
Tu ne lis pas ce que les gens écrivent? Pourquoi poser des questions si tu n'es pas intéressé par les réponses?
C'est vrai que tu ne maîtrise pas le programme de licence autrement tu saurais qu'on connait tous les ensembles connexes de $\mathbb{R}$.
NB:
Avant de remettre dix messages pour tourner en rond commence par lire attentivement:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1999388,1999620#msg-1999620 -
FdP,
J'ai tout lu, mais vous ne répondez pas directement aux questions. Vous aimez trop vous insinuer dans vos réponses. -
Pablo:
Encore une fois, lis attentivement:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1999388,1999620#msg-1999620
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Bonjour!
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