L'espace des applications linéaires continues

Boble · May 2020

Bonjour à tous
J'essaie de prouver que l'espace des applications linéaires continues est un espace de [large]B[/large]anach si l'espace vectoriel normé but est de [large]B[/large]anach. De manière classique j'arrive à prouver qu'on peut trouver un isomorphisme entre cet espace et l'espace des applications continues bornées restreintes à la boule unité fermée. Mais je n'arrive pas à prouver que l'image est fermée... ce qui permettrait de conclure rapidement. Merci de toute aide possible et espère que mes propos sont clairs.

[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]

Boble · May 2020

Mon idée est de montrer qu'une application appartenant £ ( B,F) avec
B la boule unité fermé et F l'espace but de Banach ( avec sa majuscule ;-) ) et contenue dans l'adhérence de l'image est contenue dans l'image... ça doit être évident mais ça m'échappe
Une précision : je suppose a/ que Cb( B, F) l'ensemble des applications continues restreint à la boule unité B dans F est muni de la topologie uniforme. b/ je sais démontrer simplement que Cb(B,F) est de Banach. Pardon pour l'oubli sinon on ne comprend pas pourquoi je dis que cest évident...

Boble · May 2020

Désolé de vous avoir embêté : la continuité est par définition et la linéarité découle en prenant l'artifice suivant si h appartient à l'adhérence de l'image alors h' = l*h(x/l) avec | l | > ||x|| est linéaire et continue donc appartient à l'image le résultat en découle.

L'espace des applications linéaires continues

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