Questions diverses Baire, T3, fermés emboîtés
Bonjour
je prépare [une] petite vidéo sur les fonctions dérivées.
À un moment j'ai besoin de montrer que $(C([0,1]),||\cdot||_{\infty})$ est de Baire.
Pas de souci pour la démo, qui utilise les fermés emboîtés dans un complet.
Cependant j'ai deux questions.
a) Pour les fermés emboîtés il faut utiliser le fait que l'espace possède une base de voisinage fermés. Si je ne me trompe pas, c'est équivalent à dire que l'espace est séparé $T_3$. Ma question est donc : est-il si évident que ça qu'un espace métrique est $T_3$ ? Pour le prouver il faudrait montrer qu'on peut séparer un point et un fermé (par deux ouverts disjoints) en utilisant la métrique.
Je partirais sur ceci :
je veux séparer $x$ et $F$. Pour tout $f\in F$ je prends deux ouverts disjoints $W_x(f)$ et $W_f(f)$ contenant respectivement $x$ et $f$ et les séparant. Il ne me reste plus qu'à montrer que l'intersection des $W_x(f)$ (mais est-ce un ouvert ?) et l'union des $W_f(f)$ (ça, c'est un ouvert séparent $x$ et $F$. Mais comment montrer que $W_x(f)$ est d'intérieur non vide ?
b) Pour la démo il faut utiliser les fermés emboîtés, où il faut (pour avoir Cauchy) que le diamètre des fermés tende vers 0.
Mais c'est dommage d'imposer ça. Les fermés emboîtés deviennent-ils faux si les diamètres ne font que décroître sans forcément tendre vers 0 ? Si oui, a-t-on un contre-exemple ? Sinon, comment le démontrer ? Attention, je conçois bien que si les diamètres sont infinis ça pêche. Je sous-entends donc que les diamètres sont finis (donc que les fermés sont bornés).
Vincent
je prépare [une] petite vidéo sur les fonctions dérivées.
À un moment j'ai besoin de montrer que $(C([0,1]),||\cdot||_{\infty})$ est de Baire.
Pas de souci pour la démo, qui utilise les fermés emboîtés dans un complet.
Cependant j'ai deux questions.
a) Pour les fermés emboîtés il faut utiliser le fait que l'espace possède une base de voisinage fermés. Si je ne me trompe pas, c'est équivalent à dire que l'espace est séparé $T_3$. Ma question est donc : est-il si évident que ça qu'un espace métrique est $T_3$ ? Pour le prouver il faudrait montrer qu'on peut séparer un point et un fermé (par deux ouverts disjoints) en utilisant la métrique.
Je partirais sur ceci :
je veux séparer $x$ et $F$. Pour tout $f\in F$ je prends deux ouverts disjoints $W_x(f)$ et $W_f(f)$ contenant respectivement $x$ et $f$ et les séparant. Il ne me reste plus qu'à montrer que l'intersection des $W_x(f)$ (mais est-ce un ouvert ?) et l'union des $W_f(f)$ (ça, c'est un ouvert séparent $x$ et $F$. Mais comment montrer que $W_x(f)$ est d'intérieur non vide ?
b) Pour la démo il faut utiliser les fermés emboîtés, où il faut (pour avoir Cauchy) que le diamètre des fermés tende vers 0.
Mais c'est dommage d'imposer ça. Les fermés emboîtés deviennent-ils faux si les diamètres ne font que décroître sans forcément tendre vers 0 ? Si oui, a-t-on un contre-exemple ? Sinon, comment le démontrer ? Attention, je conçois bien que si les diamètres sont infinis ça pêche. Je sous-entends donc que les diamètres sont finis (donc que les fermés sont bornés).
Vincent
Réponses
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Je ne comprends pas toutes ces considérations. C'est un résultat standard que ton espace est un espace de Banach, donc de Baire. Pourquoi parler de fermés emboîtés, de topologie $T_3$, etc. ?
-
mais comment démontres-tu qu'un Banach est de Baire ?
-
Bonjour,
Le théorème de Baire dit notamment qu'un espace métrique complet est de Baire. -
Si les $W_n$ sont des ouverts denses, tu as une suite de fermés $F_n\subset W_n\cap InterieureDe(F_{n-1})$ dont les diamètres tendent vers $0$. Une suite $u$ telle que $\forall n : u_n\in F_n$ est de Cauchy, donc converge. Sa limite est dans tous les $W_n$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
ah ? mais :
a) comment construis-tu ta suite de fermés ? Peux tu expliciter ? C'est ça ma question
b) est-on obligé d'avoir que les diamètres -> 0 pourquoi ne peut on pas démontrer ça avec juste les diamètres qui décroissent ? C'est ma seconde question
question en passant : en quoi un $u$ qui est dans tous les $W_n$ prouve-t-il que l'intersection des $W_n$ est dense. -
@elodouwen je détailles la preuve de CC :
Tu prends une suite $(W_n)_{\N}$ d'ouverts denses et $W$ un ouvert quelconque. Il faut montrer que $W\cap \bigcap\limits_n W_n \neq \varnothing$.
Pour ce faire tu choisis une boule ouverte $B_1$ de rayon $\leqslant 1$ telle que $\overline{B_1}\subset W_0\cap W$ (tu peux le faire car $W_0\cap W$ est un ouvert non vide), puis par récurrence $\overline{B_{n+1}}\subset B_n\cap W_n$ avec $B_{n+1}$ de rayon $\leqslant \frac{1}{n+1}$.
Il suffit alors de constater que les centres des boules $B_n$ forment une suite de Cauchy qui converge (c'est ici que tu utilises le fait que les diamètres des fermés tendent vers zéro) vers une limite notée $x$ et que $x\in \bigcap\limits_{n\geqslant 1} \overline{B_n}\subset \bigcap\limits_{n\geqslant 0} W_n \cap W$. -
Pour (a) je te laisse chercher, c'est de la rédaction et j'ai la flemme (et surtout des problèmes extérieurs)
Pour (b) c'est pour garantir que la future suite soit de Cauchy et pas juste bornée ou autre
Pour (c), c'est la limite qui est dans tous les Wn car dans tous les FnAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
merci Raoul
si tu peux choisir $B_{n+1}$ tel que son adhérence soit dans l'ouvert $B_n$ ça veut bien dire que les fermés forment une base des voisinages de $E$. Donc que $E$ est $T_3$. Donc que tout métrique est $T_3$.
Être $T_3$ si je ne m'abuse c'est vérifier l'une des deux assertions équivalentes :
(a) les fermés forment une base des voisinages
(b) un point et un fermé peuvent être séparés.
(c) pour tout point $x$ et tout ouvert $W$ contenant $x$, on peut trouver une chaîne :
$x\in w\subset F\subset W$ où $w$ est ouvert et $F$ fermé.
Je ne voyais pas comment montrer qu'un métrique est $T_3$ mais en utilisant (c) ça me paraît évident, en utilisant des boules, car les boules ouvertes sont ouvertes et les boules fermées sont fermées...
On prend un voisinage $U$ de $x$ inclus dans $W$, il contient une boule $B(x,R)$ et on peut toujours prendre $w=B(x,R/3)$ (boule ouverte) et $F=B(x,2R/3)$ (boule fermée).
Tout cela répond donc à ma première question.
Accepteriez-vous de dire que cette question méritait d'être posée ?
:-) -
oui oui moi j'accepte presque tout. Je suis assez tolérant (surtout avec moi) B-)-
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Bonjour!
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