Continuité en un point

Bonjour
Soit $f : E\to E$ avec $E$ métrique, je vois comment démontrer l'équivalence entre
* $f^{-1}(ouvert)=ouvert$
* si $x_n$ tend vers $\ell$ alors $f(x_n)$ tend vers $f(\ell)$.

Comment maintenant caractériser la continuité en un seul point $x_0$ par des considérations uniquement topologiques ?
J'avais pensé à :
$f^{-1}$ d'un ouvert contenant $f(x_0)$ est un ouvert contenant $x_0$ mais cela n'a pas de sens, par exemple si $f(x)=x^2*\chi(\mathbb{Q})$ et si $\Omega=]-0,1;0,1[\,\cup\,]1,2[$ je vois mal comment l'image réciproque de ce truc pourrait être ouvert.

Pourtant je suis à peu près sûr que ça doit marcher ?
Peut-on caractériser topologiquement la continuité en un seul point ?