Points séparés par les $d(x,x_n)$

Saturne · May 2020

Bonjour,

Soit $(K,d)$ un espace métrique compact. Soit $(x_n)$ une suite dense dans $K$. On pose $h_n(x) = d(x,x_n)$. Pourquoi les $h_n$ séparent les points de $K$, i.e. pour tous $x\neq y \in K$, il existe $i,j$ tels que $h_i(x) \neq h_j(y)$ ?

Saturne · May 2020

Ah attendez, ce n'est pas ça la définition de la séparation...

Poirot · May 2020

La définition est pour tout $x \neq y$, il existe $i$ tel que $h_i(x) \neq h_i(y)$. Et c'est facile à montrer par densité des $x_i$ (par l'absurde).

Saturne · May 2020

Les $h_n$ séparent les points, cela signifie que pour tout $x\in K$, il existe $i,j$ tels que $h_i(x) \neq h_j(x)$. Ok je vois. Pour tout $\epsilon>0$, on a $i$ tel que $h_i(x) < \epsilon$. Prendre $\epsilon = h_j(x)$, pour $x_j \neq x$.
Mais donc il faut supposer que $K$ a au moins deux points non ?

Calli · May 2020

Salut,

Saturne a écrit:

Les $h_n$ séparent les points, cela signifie que pour tout $x\in K$, il existe $i,j$ tels que $h_i(x) \neq h_j(x)$.

Tu ne voulais pas plutôt dire $h_i(x) \neq h_j(y)$ ?

En tout cas, c'est une propriété $\forall x\neq y, \dots$ donc on n'a pas besoin que $K$ ait au moins deux points. S'il en a moins, la propriété est automatiquement vraie.

Saturne · May 2020

Mince merci, je me suis encore embrouillé...

Poirot · May 2020

Je réitère mon message, est-ce que ce n'est pas plutôt que pour tout $x \neq y$, il existe $i$ (pas de $j$ dans mon histoire) tel que $h_i(x) \neq h_i(y)$ ? Par analogie avec les familles de semi-normes qui séparent les points.

Saturne · May 2020

Si Poirot, c'est ça.

Points séparés par les $d(x,x_n)$

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