Pseudo-métrisabilité et continuité

Pour montrer qu'une application d'un espace pseudo-métrisable dans un espace topologique est continue ssi elle est séquentiellement continue on procède exactement comme pour les espaces métriques, il n'y a aucune difficulté supplémentaire. Tu peux essayer ce n'est pas dur.

L'implication directe est facile. Pour l'implication dans l'autre sens (séquentiellement continue implique continue) il est plus facile de montrer la contraposée.

Il faut malgré tout (pas forcément ici, mais en général) faire le recenseur (ou la recenseuse), car parfois l'inégalité triangulaire est une pièce indispensable, d'autres fois non.

First countable veut juste dire qu'il existe une suite de voisinages d'intersection égale singleton visé. Sauf erreur de ma part, il n'est nulle part dit qu'elle doive être décroissante, mais comme on a le cas très particulier du dénombrable, on ne renforce rien à la supposant.

Mais par exemple pour prouver qu'un first countable compact peut s'injecter dans IR, le matheux qui dirait "fais comme si c'était métrique" fera rire (ou pleurer le conseillé) les gens non concernés, car l'inégalité triangulaire absente est une grand amie à qui on pense alors. Et il s'agit de s'en passer.