Je cherche à savoir si les fermés d'un espace de Baire sont espaces de Baire ?
Si non avez-vous un exemple ?
Si oui auriez-vous une référence de démonstration ?
Extrait de l'ami Wikipédia (non, je ne suis pas allé chercher très loin).
"Un espace $E$ est dit « complètement de Baire » si tout fermé de $E$ est de Baire. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique."
Au moins, ça donne une idée de ce qu'il faut chercher comme contrexemple.
En général, dans ce genre de recherche (de contre-exemples), il ne faut SURTOUT PAS CHERCHER. Ca vient tout seul, souvent à travers à un banal espace usuel que plein de gens utilisent tous les jours.
Si on cherche, on fait une construction artificielle.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je munis l'ordinal $\omega_1$ de la topologie des section finissantes, i.e. des sous-ensembles du type $\{\alpha\in\omega_1 \mid \alpha\geqslant \alpha_0\}$. Alors $\omega_1$ est le seul fermé d'intérieur non vide et les autres fermés sont majorés. Et toute union dénombrable de sous-ensembles majorés est majorée, donc d'intérieur vide. Donc $\omega_1$ est de Baire. Mais $\omega$ est fermé et n'est pas de Baire car il vaut $\bigcup_{n\in\omega} \{0,\dots, n-1\}$.
N'allez pas me dire que c'est un exemple artificiel. X:-(
:-D Non, il n'est pas artificiel, mais je pense que rakam veut un $T_2$. Et précision pour Raoul et Homo topi, je n'ai pas spécialement d'idées ni de morceau à cracher, je témoignais juste d'une expérience (il m'est arrivé bien des fois de tomber sur .. $\Z$ comme contre-exemple à quelque chose dans ce genre de jeu)
Dans le cas présent, il faut aller vers des fermés "petits" (ce que Calli a exploité), où les ouverts que ce fermé verra comme denses dans lui, ne sont vraiment pas denses du tout.
Je ne peux pas promettre que je vais chercher, car je sais d'expérience que c'est peine perdue, c'est comme quand on a un mot sur le bout de la langue, ça vient tout seul SURTOUT SI ON NE CHERCHE PAS.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je ne l'ai pas du tout voulu, mais fumant, je vis fenêtres ouvertes et j'ai dû prendre un bain pour me réchauffer et malgré moi j'ai eu à penser qu'il y a des exemples simples (très faciles à trouver sans inspiration du tout, du tout).
Ceux qui le veulent peuvent poster une demande de spoil, mais je pense que vous ne serez pas du tout épatés par eux, donc du coup, il vaut peut-être mieux que je vous laisse mariner (c'est vraiment une histoire de vaisselle à classer et s'y retrouver avec ces définitions, il n'y a pas de "fond" ou de raison qui fait qu'on trouve vite ou pas)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Soit $E:=\Q \cup \{\infty\}$ (où $\infty \notin \Q$). Soit $\tau$ l'ensemble des parties de $E$ vides ou de la forme $V \cup \{\infty\}$ où $V$ est un ouvert de $\Q$ pour la topologie usuelle. Alors $\tau$ est une topologie sur $E$ (immédiat) telle que $\{\infty\}=\{\infty\}\cup\emptyset$ est un ouvert de $E$ Donc $\Q$ est fermé dans $E$ et $\tau$ induit la topologie usuelle (qui n'est pas de Baire) sur lui. Comme tout ouvert non vide de $(E,\tau)$ contient $\infty$, $\{\infty\}$ est dense dans $E$ ainsi que toute partie de $E$ qui le contient et en particulier tout intersection d'ouverts non vides. Donc $(E,\tau)$ est a fortiori de Baire.
En général, dans ce genre de recherche (de contre-exemples), il ne faut SURTOUT PAS CHERCHER. Ca vient tout seul, souvent à travers à un banal espace usuel que plein de gens utilisent tous les jours.
Pas d'accord avec ça. Je pense que les gens manquent d'habitude dans la recherche de contre-exemples en général. En l'espèce la tâche est rendue difficile car les deux grandes classes d'exemples d'espaces de Baire les plus répandus (espaces métriques complets et espaces localement compacts) satisfont la propriété qu'on cherche à invalider, et qu'en dehors de ce cadre il n'y a que des espaces de Baire artificiels, comme celui du présent message.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je ne conteste pas qu'ils manquent d'habitude, mais ce que je voulais dire que QUAND ON EN MANQUE, et dans ce contexte IL ME SEMBLE que chercher à tâtons n'est pas très utile.
Comme à Calli, ton espace n'est pas $T_2$. Il y a des exemples $T_2$ bien plus simples.
Tu as d'ailleurs fait une construction. Indice: ne pas construire. Indice2: penser au père noel. Indice3 : analyse synthèse (enfin là j'abuse, il n'y a pas unicité)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@rakam, il y a beaucoup plus simple, comme j'ai dit, et surtout, les exemples de Calli et Foys (à qui je fais des gros bisous, ce n'est pas méchant) ne sont pas séparés.
Je te donne un indice beaucoup plus fort que ceux que j'ai déjà donnés : tu veux un fermé dans un espace banal ? Et bé, décrète-le fermé :-D s'il ne l'est pas déjà.
Si avec cet indice tu ne trouve pas rapidement... Je te donnerai un exemple direct.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Christophe : 4 messages pour dire qu'ils y a des exemples très simples et ne pas en donner un, c'est INSUPPORTABLE. Tu parles pour ne rien dire. Et ne crois pas que dire qu'il faut classer sa vaisselle est un indice valable. Et puis pas besoin de répéter 3 fois que nos espaces ne sont pas $\rm T_2$, on a compris.
Foys : J'avais tenté un truc comme ça, mais j'autorisais des ouverts ne contenant pas $\infty$, donc ça ne marchait pas. Dommage ; et bravo à toi.
rakam : Je n'appelle pas ça des espaces classiques. Ils sont plutôt exotiques.
Je te donne un indice beaucoup plus fort que ceux que j'ai déjà donnés: tu veux un fermé dans un espace banal? Et bé, décrète-le fermé grinning smiley s'il ne l'est pas déjà
Si $(X,\mathcal T)$ est un espace topologique et si $F$ est une partie de $X$, alors la plus petite topologie sur $X$ contenant $\mathcal T$ et faisant de $F$ un fermé est l'ensemble des réunions quelconques d'éléments de $\mathcal T$ et de parties de la forme $V \backslash F$ où $V$ parcourt $\mathcal T$. Ca fait beaucoup de monde. Cela préserve certes la séparation de la topologie si celle de départ l'ést déjà. Mais en rajoutant des ouverts on perd des parties denses. Il n'y a pas de raison pour que l'espace obtenu soit de Baire même si l'espace de départ l'est.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Calli: nan, mais t'inquiète, Foys a compris manifestement!
Et si si je maintiens que mes indices n'étaient pas vides.
Prends le bon vieux espace de Baire le plus commun, prends le "pas fermé" qui est inclus dedans et que tout le monde a envie de prendre comme espace pas-de-Baire, rajoute-le à la topologie usuelle du vieux en tant que fermé.
En gros, c'est le premier truc à essayer qui applique les indices.
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Oui d'accord, moi aussi j'ai compris ton truc, mais c'est quand même pénible autant de messages avec "c'est très très facile, je vous laisse chercher", "il suffit de dessiner un Père Noël en rangeant sa vaisselle et ça vous paraîtra évident"...
On prend sur $\Bbb R$ la topologie engendrée par les ouverts usuels et $\{\Bbb R\setminus \Bbb Q\}$. Un ensemble est d'intérieur non vide ssi il contient un intervalle non trivial de $\Bbb R\setminus \Bbb Q$. Soit $(F_n)$ une suite de fermés dont l'union est d'intérieur non vide. Ils sont de la forme $G_n \cup (G_n '\cap\Bbb Q)$ avec $G_n,G_n'$ des fermés usuels. Alors $\bigcup F_n = \left(\bigcup G_n\right) \cup \left(\bigcup G_n' \cap \Bbb Q \right)$, donc $\bigcup G_n$ contient un intervalle non trivial de $\Bbb R\setminus \Bbb Q$. D'où $\left(\bigcup G_n\right)\cup\big(\bigcup _{r\in\Bbb Q} \{r\}\big)$ est d'intérieur non vide dans le $\Bbb R$ usuel. Puisque ce $\Bbb R$ usuel est de Baire, l'un des $G_n$ est d'intérieur usuel non vide, et a fortiori d'un intérieur non vide dans la nouvelle topologie. Bref, cette topologie est de Baire.
Mais $\Bbb Q$ est un fermé dont la topologie induite coïncide avec la topologie usuelle. Donc il n'est pas de Baire.
Le but de mon message était de signaler qu'on ne "rajoute pas juste un fermé" à un espace donné et que la propriété de Baire doit se redémontrer pour le nouvel espace, elle ne va pas de soi. Donc non, ce n'est pas une piste naturelle.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
4 messages pour dire qu'ils y a des exemples très simples et ne pas en donner un, c'est INSUPPORTABLE
J'imagine trop ta voix partir dans les aigus en tout cas en prononçant cette phrase, probablement pilier théâtral des phrases.
@Foys, oui, tout à fait d'accord. A noter d'ailleurs que comme je l'ai souvent dit, les baireries sont une chienlit de classe luxe, et ou bien j'ai des lacunes ou bien il n'y a pas de moyen de les raccourcir avec l'ANS.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
rakam : Je n'appelle pas ça des espaces classiques. Ils sont plutôt exotiques.
Je pense que tu n'as pas compris le sens du verbe "sortir" dans le message de rakam. ;-)
Honnêtement je préfère les exemples de Calli (le premier) et de Foys, qui certes ne sont pas séparés, mais qui ont le mérite de montrer immédiatement ce qui empêche la propriété d'être vraie en général.
Et c'est vrai que la manière qu'a Christophe de teaser en disant "c'est parfaitement évident, il ne faut surtout pas chercher" est très agaçante (et vexante quand on ne trouve pas de contre-exemple en un claquement de doigt).
Faut que je google "teaser", c'est joli en sonorité en tout cas, mais il y a un malentendu!!!!
Je n'ai en aucun cas dit que c'était évident, j'ai dit que c'était INDEPENDANT DE L EFFORT DE RECHERCHE!!!!!
Autrement dit, j'ai dit que ça ne sert à rien de "chercher" (en caricaturant, si sa vie en dépend, c'est légitime de chercher), car c'est comme quand on a un mot sur le bout de la langue, plus on cherche et plus .. ça ne vient pas.
A titre personnel d'ailleurs, je n'ai pas cherché et si j'avais cherché je n'aurais pas trouvé, car je n'ai même pas l'aide de l'ANS pour les baireries et sans elles, j'aime autant te dire que ce n'est pas ma tasse de café que de jouer à la quète aux CE.
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Je pense que la suggestion de Homo Topi est la bienvenue :
Sur la page Wiki citée il y a une référence à Three topics in descriptive set theory de Vincent Kieftenbeld et, en page 25 (je n'ai pu lire que page par page) on a
Comment vois-tu "rapidement" sur le dessin que ce n'est pas de Baire ? A moins que tu ne le vois pas rapidement, mais que tu n'as juste pas détaillé ton raisonnement...
Comment vois-tu "rapidement" sur le dessin que ce n'est pas de Baire ? A moins que tu ne le vois pas rapidement, mais que tu n'as juste pas détaillé ton raisonnement...
Si tu prends disons un ouvert et que tu le réunies avec un nawak d'intérieur vide, qui lui est disjoint, ton espace reste de Baire parce que l'ouvert est gros à côté du reste et les intersections d'ouverts denses resteront denses. J'ai fait de même avec mon ce qui a énervé tlm au dessus :-D
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Homo Topi : On dirait que Christophe t'a répondu, mais comme je ne comprends pas ce qu'il dit, je donne aussi ma réponse. Ça peut se voir rapidement. $\Bbb Q$ n'est pas de Baire car il est l'union dénombrable de ses singletons qui sont tous fermés et d'intérieur vide. Et ici, on peut reproduire cet argument avec $(\Bbb Q \cap [-2,-1])\times \{0\}$ : il est inclus dans $X$, d'intérieur non vide et union dénombrable de fermés d'intérieur vide.
En fait, je ne commentais pas spécialement cet exemple-là, mais juste le principe que ce qui se passe dans ce qui est maigre dans un espace de Baire ne lui fait rien. On peut donc y rajouter des fermés, des cerises, des framboises, etc.
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Réponses
Pas de référence ou de démonstration, mais au moins ça répond à ta question. :-D
"Un espace $E$ est dit « complètement de Baire » si tout fermé de $E$ est de Baire. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique."
Au moins, ça donne une idée de ce qu'il faut chercher comme contrexemple.
Il y a par exemple, Qx{0} qui est fermé dans Qx{0} U Rx{1}.
Édit : Je me suis trompé.
Si on cherche, on fait une construction artificielle.
crache le morceau CC (:D
N'allez pas me dire que c'est un exemple artificiel. X:-(
Dans le cas présent, il faut aller vers des fermés "petits" (ce que Calli a exploité), où les ouverts que ce fermé verra comme denses dans lui, ne sont vraiment pas denses du tout.
Je ne peux pas promettre que je vais chercher, car je sais d'expérience que c'est peine perdue, c'est comme quand on a un mot sur le bout de la langue, ça vient tout seul SURTOUT SI ON NE CHERCHE PAS.
Ceux qui le veulent peuvent poster une demande de spoil, mais je pense que vous ne serez pas du tout épatés par eux, donc du coup, il vaut peut-être mieux que je vous laisse mariner (c'est vraiment une histoire de vaisselle à classer et s'y retrouver avec ces définitions, il n'y a pas de "fond" ou de raison qui fait qu'on trouve vite ou pas)
Pas d'accord avec ça. Je pense que les gens manquent d'habitude dans la recherche de contre-exemples en général. En l'espèce la tâche est rendue difficile car les deux grandes classes d'exemples d'espaces de Baire les plus répandus (espaces métriques complets et espaces localement compacts) satisfont la propriété qu'on cherche à invalider, et qu'en dehors de ce cadre il n'y a que des espaces de Baire artificiels, comme celui du présent message.
Comme à Calli, ton espace n'est pas $T_2$. Il y a des exemples $T_2$ bien plus simples.
Tu as d'ailleurs fait une construction. Indice: ne pas construire. Indice2: penser au père noel. Indice3 : analyse synthèse (enfin là j'abuse, il n'y a pas unicité)
Il fallait effectivement sortir des espaces classiques !
Je te donne un indice beaucoup plus fort que ceux que j'ai déjà donnés : tu veux un fermé dans un espace banal ? Et bé, décrète-le fermé :-D s'il ne l'est pas déjà.
Si avec cet indice tu ne trouve pas rapidement... Je te donnerai un exemple direct.
Foys : J'avais tenté un truc comme ça, mais j'autorisais des ouverts ne contenant pas $\infty$, donc ça ne marchait pas. Dommage ; et bravo à toi.
rakam : Je n'appelle pas ça des espaces classiques. Ils sont plutôt exotiques.
Et si si je maintiens que mes indices n'étaient pas vides.
Prends le bon vieux espace de Baire le plus commun, prends le "pas fermé" qui est inclus dedans et que tout le monde a envie de prendre comme espace pas-de-Baire, rajoute-le à la topologie usuelle du vieux en tant que fermé.
En gros, c'est le premier truc à essayer qui applique les indices.
On prend sur $\Bbb R$ la topologie engendrée par les ouverts usuels et $\{\Bbb R\setminus \Bbb Q\}$. Un ensemble est d'intérieur non vide ssi il contient un intervalle non trivial de $\Bbb R\setminus \Bbb Q$. Soit $(F_n)$ une suite de fermés dont l'union est d'intérieur non vide. Ils sont de la forme $G_n \cup (G_n '\cap\Bbb Q)$ avec $G_n,G_n'$ des fermés usuels. Alors $\bigcup F_n = \left(\bigcup G_n\right) \cup \left(\bigcup G_n' \cap \Bbb Q \right)$, donc $\bigcup G_n$ contient un intervalle non trivial de $\Bbb R\setminus \Bbb Q$. D'où $\left(\bigcup G_n\right)\cup\big(\bigcup _{r\in\Bbb Q} \{r\}\big)$ est d'intérieur non vide dans le $\Bbb R$ usuel. Puisque ce $\Bbb R$ usuel est de Baire, l'un des $G_n$ est d'intérieur usuel non vide, et a fortiori d'un intérieur non vide dans la nouvelle topologie. Bref, cette topologie est de Baire.
Mais $\Bbb Q$ est un fermé dont la topologie induite coïncide avec la topologie usuelle. Donc il n'est pas de Baire.
Je n'ai pas dit ça, j'ai dit de "faire appel au"
Bon, mais de toute façon, les goûts et les couleurs.
J'imagine trop ta voix partir dans les aigus en tout cas en prononçant cette phrase, probablement pilier théâtral des phrases.
@Foys, oui, tout à fait d'accord. A noter d'ailleurs que comme je l'ai souvent dit, les baireries sont une chienlit de classe luxe, et ou bien j'ai des lacunes ou bien il n'y a pas de moyen de les raccourcir avec l'ANS.
Je pense que tu n'as pas compris le sens du verbe "sortir" dans le message de rakam. ;-)
Honnêtement je préfère les exemples de Calli (le premier) et de Foys, qui certes ne sont pas séparés, mais qui ont le mérite de montrer immédiatement ce qui empêche la propriété d'être vraie en général.
Et c'est vrai que la manière qu'a Christophe de teaser en disant "c'est parfaitement évident, il ne faut surtout pas chercher" est très agaçante (et vexante quand on ne trouve pas de contre-exemple en un claquement de doigt).
Je n'ai en aucun cas dit que c'était évident, j'ai dit que c'était INDEPENDANT DE L EFFORT DE RECHERCHE!!!!!
Autrement dit, j'ai dit que ça ne sert à rien de "chercher" (en caricaturant, si sa vie en dépend, c'est légitime de chercher), car c'est comme quand on a un mot sur le bout de la langue, plus on cherche et plus .. ça ne vient pas.
A titre personnel d'ailleurs, je n'ai pas cherché et si j'avais cherché je n'aurais pas trouvé, car je n'ai même pas l'aide de l'ANS pour les baireries et sans elles, j'aime autant te dire que ce n'est pas ma tasse de café que de jouer à la quète aux CE.
Christophe : Je n'aurais pas trouvé l'exemple avec $\omega_1$ si je n'avais pas cherché (ça me parait évident quand même...).
ANS = ?
Sur la page Wiki citée il y a une référence à Three topics in descriptive set theory de Vincent Kieftenbeld et, en page 25 (je n'ai pu lire que page par page) on a
Si tu prends disons un ouvert et que tu le réunies avec un nawak d'intérieur vide, qui lui est disjoint, ton espace reste de Baire parce que l'ouvert est gros à côté du reste et les intersections d'ouverts denses resteront denses. J'ai fait de même avec mon ce qui a énervé tlm au dessus :-D