Variété topologique

En M1, j'ai découvert les notions de variété différentielle, variété riemannienne et variété à bord. D'après Wikipédia, l'objet sous-jacent est la variété topologique.

Quand je pense "variété", je pense "truc localement euclidien". Cependant, la définition abstraite précise deux choses de plus : l'espace topologique en question doit être séparé et à base dénombrable. Ils expliquent un intérêt de la séparation dans l'article même, en disant que c'est logique si on veut utiliser une variété comme espace des phases d'un système physique. Je veux bien accepter ça comme raison suffisante. Par contre, la base dénombrable, on en a besoin pourquoi ?

Dans l'autre sens : je ne suis pas très doué pour fabriquer des exemples/contrexemples en topologie. Un espace localement homéomorphe à $\mathbb{R}^n$, mais non séparé, ils en donnent un exemple dans l'article. Mais un espace localement homéomorphe à $\mathbb{R}^n$ à base non dénombrable, ça ressemblerait à quoi ? Que je me fasse une idée de ce qu'on essaie d'exclure.