Union disjointe
Bonjour,
Je découvre l'union disjointe. J'aimerais savoir si l'hypothèse des $B_i$ disjoints sert à quelque chose dans le paragraphe suivant. Car j'ai l'impression que non.
Soient $B_1$, $B_2$, $\ldots$ des sous-ensembles disjoints d'un espace polonais $E$, tels que pour chaque $i$ il existe un espace polonais $Z_i$ et une bijection continue $g_i\colon Z_i \to B_i$. L'union disjointe $Z = \bigsqcup_{i \geq 1}Z_i$ est un espace polonais. Soit $g\colon Z \to E$ définie par $g(z) = g_i(z)$ si $z \in Z_i$. Alors $g$ est une bijection continue de $Z$ dans $\bigcup_{i \geqslant 1} B_i$.
Je découvre l'union disjointe. J'aimerais savoir si l'hypothèse des $B_i$ disjoints sert à quelque chose dans le paragraphe suivant. Car j'ai l'impression que non.
Soient $B_1$, $B_2$, $\ldots$ des sous-ensembles disjoints d'un espace polonais $E$, tels que pour chaque $i$ il existe un espace polonais $Z_i$ et une bijection continue $g_i\colon Z_i \to B_i$. L'union disjointe $Z = \bigsqcup_{i \geq 1}Z_i$ est un espace polonais. Soit $g\colon Z \to E$ définie par $g(z) = g_i(z)$ si $z \in Z_i$. Alors $g$ est une bijection continue de $Z$ dans $\bigcup_{i \geqslant 1} B_i$.
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Réponses
\bigsqcup_{i \in I} X_i := \bigl\{(x,i) \mid i \in I, x \in X_i\bigr\}
$$ lorsque $\{X_i\}_{i \in I}$ est une collection d'ensembles ?
Pour ta deuxième question : si tu as une famille d'ensembles $(X_i)_{i\in I}$ (donc une fonction de domaine $I$, $i\mapsto X_i$), alors par le schéma d'axiomes de remplacement, $\{X_i\times \{i\}, i\in I\}$ est aussi un ensemble.
Alors, l'axiome de la réunion garantit que $\bigcup \{X_i\times \{i\}, i\in I\} = \{z \mid \exists i\in I, z\in X_i\times \{i\} \} = \{(x,i)\mid i\in I, x\in X_i\}$ existe/
Ici, $E=\{X_i\times \{i\}, i\in I\}$ (qui existe par remplacement)
De manière générale, ne te prends pas la tête, fais comme si toutes les collections sont des ensembles, de toute façon, on s'en rend sans problème compte quand on considère une collection grosse.
Là tu ne fais que partir d'un ensemble pour arriver à d'autres ensembles. Les axiomes de remplacement suffisent toujours.
Par exemple, tous les éléments que tu considères sont des éléments de $P(P(P(T)))$ où $T$ est l'union de ta famille $f$ et de ses éléments, ainsi que des éléments de ses éléments. (Et j'ai visé large, car flemme de regarder de près :-D )