Est-ce impressionnant ?

Cere · May 2020

J'ai une petite anecdote à vous raconter et je voulais savoir si c'était réellement, du moins au moins un peu impressionnant ou bien c'est moins qui est trop faible (aucun soucis avec cela d'ailleurs).

Pour faire court.
Je suis avec un interlocuteur, on a un problème dans un espace métrique compact et à un moment on veut utiliser le théorème de Banach-Alaoglu sur l'espace des fonctions continues de cet espace métrique compact.
Je demande : comment on peut justifier que l'espace des fonctions continues est bien séparable, Stone-Weierstrass mais avec quelle sous-algèbre ?
Réponse : j'avoue que j'avais toujours utilisé ce fait sans le justifier je sais que c'est vrai mais je ne sais pas quelle sous-algèbre utiliser.
Il réfléchis une minute et pense à considérer le sous-algèbre $A$ de la démonstration ci-joint.
Il dit : je pense que ça doit marcher, je ne sais pas si ça a déjà été démontré comme ça, mais ça doit marcher.

Après nous sommes passé à autre chose mais suite à ça, j'ai bien vérifié que cela marchait et trouvé une démonstration comme celle-ci.

J'ai trouvé cela costaud car moi c'était le vide sur quoi considérer comme sous-algèbre et ça le serait resté.
Quel est votre avis ?
Désolé si je suis épaté pour un rien... 102542

JLT · May 2020

J'ai retrouvé ça dans mes archives : on peut aussi démontrer une réciproque. 102546

Calli · May 2020

Bonjour,
Voici une autre façon de démontrer la proposition sans le théorème de Stone-Weierstrass.
Soit $n\in\Bbb N^*$. Par compacité, il existe un recouvrement de $X$ par un nombre fini de boules de rayon inférieur à $\frac1n$. On note $x_{n,1},\dots,x_{n,m_n}$ leurs centres. Soient $s_n : t\mapsto \max(0,\frac1n -t)$, $$D_n = \left\{ \ \left. x\mapsto \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{m_n} r_i \cdot s_n(d(x,x_{n,i}))}{\displaystyle \sum_{i=1}^{m_n} s_n(d(x,x_{n,i}))}\ \ \right|\ \ (r_i)\in \Bbb Q^{m_n} \right\} \qquad \text{et}\qquad D=\bigcup_{n\in\Bbb N^*} D_n.$$
Alors $D$ est dénombrable. Et grâce à l'uniforme continuité des fontions de $\mathcal{C}(X,\Bbb R)$, on peut montrer que $D$ est dense.

Cere · May 2020

Merci de vos réponses,
JLT, je vais essayer faire l'exercice quand j'aurais le temps, aurais-tu un corrigé par chance?

Merci de la démo Calli.

Mais sinon, est ce impressionant de trouver tout seul la démo que j'ai cité ou bien ce n'est pas étonnant?

(Moi je n'ai pas le recul suffisant pour savoir mais cela m'interesse)

Dom · May 2020

Trouver tout seul quelque chose est toujours génial.
S’auto-congratuler n’est pas un défaut dans ce cas. C’est intime et personnel.

J’ai même trouvé des trucs dont je ne soupçonnais pas l’existence (j’entends par là « mais qui s’est posée cette question ? »), et puis, avec un peu de temps je me suis dit « bon, ok, c’est bidon, on a diverses sources ». Pire, ce n’est pas « sourcé » car peu important. Et évidemment d’autres se les sont posées, ces questions.
Bref.

Je ne sais pas si j’utiliserais « impressionnant » par contre.

Calli · May 2020

On peut être content de soi quand on trouve ça car c'est assez malin. Après, le fait que ce soit impressionnant ou non est subjectif. Ça dépend pas mal de la personne potentiellement impressionnée.

JLT · May 2020

Non je n'ai pas de corrigé.

Maintenant est-ce que c'est impressionnant ou non, tout est relatif. A moins d'être à l'une des extrémités, chacun est impressionnant par rapport à un autre personne et impressionné par une autre.

En tout cas si on a un espace métrique compact et on cherche une sous-algèbre dénombrable, la construction indiquée est tout à fait naturelle, puisque les seules fonctions qu'on a à disposition sont les fonctions $x\mapsto d(a,x)$.

Cere · May 2020

Merci Dom
D'accord donc si j'ai compris ta réponse, rien de bien fortiche d'avoir pensé à ce sous-algèbre.
Il y a surement une compréhension de ce théorème et de ce qui "tourne autour" qui ne m'est pas encore acquise.

Dom · May 2020

Je parlais « en général ».
Pour ce cas précis, je ne sais pas ce qu’il en est d’un indice éventuel de « trouvaille ».

Cere · May 2020

Merci JLT
Pour le corrigé; dans ce cas la je ferais surement un post sur le forum pour solliciter l'aide des intervants si je bloque.
C'est ce caractère naturelle évoqué qui ne m'est pas parvenu naturellement, pourtant maintenant en y pensant...

Par contre,je n'ai pas dit que la personne était contente ou autre, d'ailleurs elle ne l'était même pas.

Merci de vos avis, il est vrai que le fait d'être impressionné est subjectif,c'est pour cela que je sollicitais vos avis pour plus d'objectivité globale.

Dom · May 2020

Aujourd’hui, si je pense trouver un truc « important » (dans le sens « impressionnant » disons, pour reprendre ton terme) il suffit que je pose la question sur ce forum.
S’il n’est pas plié en une semaine c’est que c’est « fort ».

Une fois j’avais posé une énigme qui m’avait fait remplir des brouillons très longtemps (je ne sais plus sur quel thème).
Déposée ici, elle a tenu deux minutes.
Ça ne veut pas dire que j’étais « nul » (ça ne veut rien dire ça non plus).

C’est un peu comme en sport. Il faut se battre soi-même et pas « les autres ». Par exemple sur un marathon ou un truc de ce genre.
Même sur un tournoi de tennis d’ailleurs.
C’est l’une des raisons pour laquelle je n’admire personne. Je me dis « chacun son chemin ».
Bon bref.

Cere · May 2020

Oui c'est sûr beaucoup de problèmes sont simples pour certains intervenants.
Dû au faite qu'il l'est déjà rencontré, rencontré quelque chose de similaire, ou bien que cela rentre dans leurs domaines.
Tout ce qui touche de près ou de loin le niveau agregation, les domaines vu jusqu'a l'agregation il y aura toujours quelqu'un qui répondra vite sur ce forum si la question est faisable.
Mais ça, j'ai appris à me détacher de l'admiration envers cela et compris la rationnalité derrière ce phénoméne.

Cere · May 2020

D'ailleurs c'est surement la même chose pour l'interlocuteur dont je vous ai parlé.
Une analogie avec une aitre preuve/un exercice ou autre.

Merci beaucoup pour le temps que vous prenez à répondre à mon ingénuité.

christophe c · May 2020

A priori, je suis quelqu'un qui s'émerveille de tout. Mais, là, je pense que tu as dû étonner ton interlocuteur en le transformant en idole d'un soir. Tu cherches un algèbre incluse dans $C(X,\R)$, sachant que les seules fonctions dont tu disposes sont:

1/ Les constantes

2/ Les distances à Machin

Franchement, ce qui serait impressionnant c'est de trouver UNE AUTRE ALGEBRE que celle engendrée par (1) et (2) (avec Machin variant dans le dense dénombrable de $X$)

Donc là, sur ce cas, précis, je dirais plutôt que tu devrais faire attention quand tu te réjouis publiquement. Non pas moralement, je suis bien le premier à exprimer mes réjouissances sur le forum, mais "professionnellement", si tu es jeune et en recherche de promotion, car tous les gens ne sont pas bienveillant. Par exemple, si ton épateur est en même temps un recruteur un peu coincé des fesses et grognon et que le couvres de bisous en disant qu'en te signalant la seule algèbre possible, il t'a épaté, ça donne pas forcément bonne impression

Et prouver le théorème avec SW non plus d'ailleurs, mais bon, ça, c'était peut-être imposé par le cahier des charges. SW est un joyau** alors que ce théorème est bien plus facile d'accès à partir de choses basiques.

** au sens où il faut "simuler" les min, max dans la preuve.

Cere · May 2020

Merci de ta réponse détaillée Christophe.
Pour info je n'ai pas gratifié mon interlocuteur ni rien, c'est juste une réflexion que je me suis faite dans ma tête !

christophe c · May 2020

De toute façon, l'utilité de ma remarque n'existait que si tu le connais peu. Après quand les gens se connaissent.... Et il n'y a pas de mal à couvrir quelqu'un de bisous (avec son consentement).

Est-ce impressionnant ?

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