Homologie, et homologie relative (pour cc)

(si je mettais "christophe" dans le titre, ça s'arrêtait à "christ", ça aurait fait bizarre :-D )
(bien sûr ce post est ouvert à toute personne qui est intéressée, mais je l'écris sur demande de Christophe, d'où le titre)

WARNING : c'est un post long.

Avant toute chose, on pourra consulter ce post , qui n'est certainement pas optimal, mais donne une première approximation de ce que l'homologie veut traduire, en tout cas en dimension 1.

L'une des raisons de sa non optimalité est qu'il a été écrit avec des coefficients réels ( a priori pour que ce soit compréhensible pour qui ne connait pas les modules; et seulement les espaces vectoriels), alors que l'une des raisons qui a lancé cette demande de Christophe est justement le passage à des coefficients qui ont de la torsion, e.g. $\mathbb F_2$ (ou universels : $\mathbb Z$).

L'idée est qu'on veut mesurer les "trous" d'un espace, et ce de manière linéaire (parce que la linéarité c'est facile). Le post en question explique déjà en partie ce qu'est un trou de dimension $1$: on peut mettre des bâtons autour qui forment un "cercle" (dans le post, ça correspond à la condition $dx = 0$, où $x$ est la somme formelle des bâtons), mais on ne peut pas remplir le trou : il n'y a pas d'analogue dans le cas des graphes, car ces derniers s'arrêtent en dimension $1$, mais ce qu'on va essayer de faire, c'est de faire en sorte que "on ne peut pas remplir le trou" se traduise par "$x$ n'est pas de la forme $dy$".

Prenons un exemple très simple pour comprendre ça : supposons qu'on a 3 bâtons, $e_1,e_0, e_2$ tels que $e_0$ suit $e_2$ et $e_1$ commence au même endroit que $e_2$ et finisse au même endroit que $e_0$ (faire un dessin : on devrait obtenir un triangle - la numérotation est un peu bizarre mais elle a un sens, je ne sais pas si je l'expliquerai)

Supposons que ce triangle puisse être rempli en un triangle plein dans mon espace (par exemple dans le plan). Alors ça me donne une application du triangle plein $\Delta^2$ (je le définirai plus tard) vers mon espace, et si je précompose par les différentes inclusions des bords, j'obtiens mes bâtons $e_0,e_1,e_2$.

Je rappelle que le "cycle" que mes bâtons décrivent suit d'abord $e_2$, puis $e_0$, puis $e_1$ en chemin inverse, donc il est représenté par $e_2+e_0-e_1$. Bah très bien, on va définir $d$(mon triangle plein) comme étant précisément $e_2+e_0-e_1$, du coup mon cycle $x$ vérifie $x=dy$ pour un certain $y$.

Inversement, s'il y a $y$ tel que $dy = x$, on peut imaginer qu'en un sens le cycle déterminé par $x$ est "remplissable".

Bon bah l'homologie prend cette idée au sérieux, la généralise aux dimensions supérieures, et permet de la liberté dans les coefficients.

Plus précisément : $|\Delta^n| = \{(e_0,...,e_n)\in \mathbb R^{n+1}\mid \forall i, e_i\geq 0 \land \sum_i e_i = 1\}$ est le $n$-simplexe standard. Faites des dessins pour $n=0,1,2,3$, c'est intéressant d'avoir une idée de leur tête.
(pourquoi on prend des simplexes donc des "triangles de grande dimension" ? Bonne question, difficile de répondre dans ce post; moi-même je ne suis pas sûr de toutes les raisons. A posteriori, on peut dire "ça marche très bien comme ça, et moins bien avec d'autres approches")

Un truc très cool à remarquer (facile à voir sur les dessins !) c'est que $|\Delta^{n+1}|$ se tient dans $|\Delta^n|$ de plusieurs manières, dont $n+1$ qui se distinguent : dès qu'on fixe $e_i =0$, on tombe sur un $n$-simplexe standard, la $i$-ème face. J'appelle $\partial_i: |\Delta^n|\to |\Delta^{n+1}$| l'application continue correspondante.

Soit ensuite $X$ un espace topologique. L'idée, pour accomplir notre programme plus haut, est de "sonder" $X$ via des simplexes. Moralement, ces simplexes devraient repérer les trous de $X$ (si je prends un $(n+1)$-simplexe, que je prends en fait que l'union de ses faces de dilension $n$, ça me donne une sorte de tétraèdre $(n+1)$-dimensionnel non plein, donc un truc $n$-dimensionnel - à nouveau ,regarder sur les dessins, particulièrement $n+1 = 2,3$)

Mais on veut linéariser tout ça, donc on pose $C_n(X) := $ le groupe abélien libre avec pour générateurs $\hom(|\Delta^n|,X)$ (chaque application continue $|\Delta^n|\to X$ est un générateur - on a tendance à les noter $\sigma$, donc si j'ai des $\sigma$ non définis qui traînent plus bas, ce sera ça).

Les éléments de $C_n(X)$ sont appelés "chaînes singulières de $X$", mais je risque de dire "chaîne" parce qu'ici il n'y aura pas d'autres chaînes.
On peut s'amuser un peu et varier les coefficients : si $A$ est un groupe abélien, $C_n(X;A) := C_n(X)\otimes A$

Finalement, on définit des différentielles : $d_{n+1} : C_{n+1}(X)\to C_n(X)$ (elles jouent le rôle de mon $d$ de plus haut). Ce sont par définition des morphismes de groupes abéliens, et donc je peux me permettre de les définir uniquement sur les générateurs $\sigma$, et alors $d_{n+1}\sigma := \sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i (\sigma \circ \partial_i)$. En mots "on fait la somme alternée des faces de $\sigma$".
Vérifiez que pour $n+1 = 1$ on retrouve notre idée de cycle, et regardez ce qu'il se passe pour $n+1=2$

Le point essentiel est que $d^2= 0$ - c'est facile à montrer, ça repose en fait sur des identités que les $\partial_i$ vérifient entre elles; mots clé : "identités simpliciales" [ ou "simplicial identities" ] . Plus précisément, puisqu'on a des indices, $d_n\circ d_{n+1} = 0$ (mais j'écrirai souvent $d$). A remarquer que cela marche aussi pour $C_*(X;A)$

Une fois qu'on a ça, cela permet de définir l'homologie : $H_n(X)$ est le quotient de $\ker(d_n)$ par $\mathrm{im}(d_{n+1})$. Regardez un peu en dimension $0,1,2$ ce que ça représente (on pourra notamment se référer au blog de plus haut). On pourra aussi (avec un peu de profit, mais n'en espérez pas trop) consulter la discussion ici sur l'interprétation de $H_n(X)$ comme "trous" de l'espace.
On fait pareil pour $A$, ça définit $H_n(X;A)$.

Bon à partir de là on pourrait dire plein de choses et tout, il y a plein de théorèmes cool (dont la démonstration ne l'est pas tout le temps), je vais en énoncer certains dont j'aurai besoin.

A commencer par le fait que $C_*(X;A)$ est évidemment fonctoriel en $X$ et en $A$. Si vous n'aimez pas ce gros mot à chaque application continue $f:X\to Y$, on peut associer un morphisme de groupes $C_n(f) : C_n(X;A)\to C_n(Y;A)$ qui "commute aux différentielles": $d_n\circ C_n(f) = C_{n-1}(f)\circ d_n$ (faites un diagramme, c'est plus compréhensible - mais rappelez-vous de la cible de ce post :-D ), et qui vérifie les identités évidentes : $C_n(f\circ g) = C_n(f)\circ C_n(g)$, $C_n(id_X) = id_{C_n(X)}$. Il est défini sur les générateurs par $C_n(f)(\sigma \otimes a ) = (f\circ \sigma)\otimes a$.

Une fois que ceci est dit, je peux définir l'homologie relative : si $Y\subset X$ est un sous-espace, l'inclusion $i:Y\to X$ est continue, et donc on a un morphisme $C_*(Y;A)\to C_*(X;A)$ (qui est évidemment injectif), et je peux définir $C_*(X,Y;A)$ comme le quotient par ce morphisme. A noter que comme les différentielles sont compatibles, elles passent au quotient, et on peut les définir sur $C_*(X,Y;A)$, et donc on peut définir de la même manière $H_n(X,Y;A)$.

Comme d'hab, toutes ces constructions sont fonctorielles en la paire $(X,Y)$ et en $A$; où mes morphismes entre paires $(X,Y)\to (X',Y')$ seront les applications continues $f:X\to X'$ telles que $f(Y)\subset Y'$.

Attardons nous juste un peu sur ce truc relatif. $C_n(X,Y)$ (quand je ne mets pas de coefficients, c'est que $A=\mathbb Z$) est aussi abélien libre : ses générateurs sont les applications $\sigma : |\Delta^n|\to X$ qui ne se factorisent pas entièrement par $Y$. On peut donc le voir de deux manières : $C_n(X)$ mais où on décrète que si $\sigma$ se factorise par $Y$, alors elle devient nulle, ou le sous-groupe que je viens de mentionner.
Imaginez un instant les implications que ça a sur l'homologie : disons que je prends $\sigma : |\Delta^n|\to X$. En principe, $d(\sigma)$ est très rarement nul (imaginez une situation usuelle : ce ne sera pas nul)
Pour autant, si toutes les faces sont dans $Y$, $d(\sigma)$ atterrit dans $C_{n-1}(Y)$, et est donc nul dans $C_{n-1}(X,Y)$ ! Pour que $\sigma$ soit de la forme $d$(quelque chose)... c'est compliqué.
ça peut vous donner une idée de ce que $H_n(X,Y;A)$ contient comme information.

Une autre idée vient du théorème qui dit que pour toute paire $(X,Y)$ on a une "suite exacte longue" (naturelle en la paire) :

$\dots \to H_{n+2}(X,Y;A)\to H_{n+1}(Y;A)\to H_{n+1}(X;A)\to H_{n+1}(X,Y;A)\to H_n(Y;A)\to \dots$ (il y a un mini mensonge à cause de l'homologie réduite, considérez que $n>0$ ici pour que ce soit vrai)

(c'est-à-dire une suite de morphismes tels que chaque $3$ termes consécutifs donnent une suite exacte). Donc en fait chaque classe d'homologie $c\in H_{n+1}(X,Y;A)$ peut-être vue comme un "amalgame" d'une classe dans $Y$ de dimension $n$ (un "trou de dimension $n$ dans $Y$), et d'une dans $X$ de dimension $n+1$. On appelle le morphisme $H_{n+1}(X,Y;A)\to H_n(Y;A)$ le "boundary morphism" en anglais, j'imagine quelque chose comme "morphisme de bord" en français

Les deux autres théorèmes importants dont je veux parler sont :
1- L'invariance par homotopie : si $f,g : (X,Y)\to (X',Y')$ sont homotopes (et que l'homotopie vérifie $H(Y\times I)\subset Y'$), alors les applications induites en homologie sont égales : $H_n(f) = H_n(g)$ (en fait il y a un résultat plus fort, mais tenons-nous en à ça). En conséquence, par fonctorialité, si $(X,Y)$ est homotopiquement équivalent à $(X',Y')$, alors $H_n(X,Y;A)\cong H_n(X',Y';A)$. Avec $Y=\emptyset$ on a le même énoncé avec "si $X$ et $X'$ sont homotopiquement équivalents".

2- Le théorème d'excision : voir ici; il dit en gros que l'homologie relative est "locale" (sous de bonnes hypothèses) : si $\overline U \subset \mathrm{Int}(A)$, avec $U\subset A\subset X$ des sous-espaces, alors l'inclusion $i: (X\setminus U,A\setminus U) \to (X,A)$ induit un isomorphisme en homologie, i.e. $H_n(i) : H_n(X\setminus U,A\setminus U)\to H_n(X,A)$ est un isomorphisme.

De ce théorème on peut déduire la suite exacte de Mayer-Vietoris, qui est un outil calculatoire particulièrement puissant. Par exemple, avec ça vous pouvez dès maintenant calculer $H_k(S^n)$ pour tous $k,n$ - je le laisse en exercice (indication : procéder par récurrence en utilisant la décomposition en deux hémisphères).

Première application du théorème d'excision : calcul de l'homologie locale d'une variété, $H_k(M,M\setminus \{x\})$. Ce calcul indiquera en particulier comment penser à cette homologie locale, donc je repousse ça à après le calcul.

$M$ est une variété, donc on peut trouver une petite boule euclidienne $B$ contenant $x$. Je vais la prendre ouverte, disons. Alors, par le théorème d'excision, avec $U = M\setminus B$, $A= M\setminus \{x\}$ et $X= M$, on va avoir que l'inclusion $(B, B\setminus \{x\})\to (M, M\setminus\{x\})$ induit un isomorphisme en homologie.
C'est ça que j'entendais par "local" (ça, et Mayer-Vietoris): cette homologie relative ne dépend que d'un petit voisinage de $x$.

Maintenant, l'invariance par homotopie impose que $H_k(B,B\setminus\{x\}) \cong H_k(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\})$. Donc si on veut interpréter $H_k(M,M\setminus\{x\})$, il nous faut simplement comprendre qu'il s'agit d'une version locale de $H_k(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\})$. Il nous faut alors comprendre ce dernier.

Pour ça, on utilise la suite exacte longue de la paire $(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus \{0\})$ (en n'oubliant pas deux points importants : $\mathbb R^n$ est contractile, donc son homologie est celle du point, i.e. $0$ en degrés strictement positif - exercice facile - et $\mathbb R^n\setminus\{0\}$ se rétracte par déformation sur $S^{n-1}$, donc son homologie est la même que cette dernière, donnée plus haut en exercice)

Alors on voit que (sauf peut-être en $k$ ou $n=0$ mais ça ne m'intéresse pas - ce genre de problèmes se règle avec l'homologie réduite) le morphisme de bord $H_{k+1}(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus \{0\};A)\to H_k(\mathbb R^n\setminus \{0\};A)$ est un isomorphisme.

Regardons particulièrement en $k+1 = n$ : alors $H_{n-1}(\mathbb R^n\setminus \{0\};A)\cong A$ (je viens de me rendre compte que j'avais parfois oublié des coefficients : tout est vrai jusqu'ici avec n'importe quels coefficients $A$) , et donc $H_n(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus \{0\};A) \cong A$.
Prenons par exemple $A=\mathbb Z$, auquel cas un isomorphisme de $H_{n-1}(\mathbb R^n\setminus\{0\})$ avec $\mathbb Z$ revient à un choix d'orientation de la sphère $S^{n-1}$ (pour comprendre ça il faut revenir sur le calcul de $H_{n-1}(S^{n-1})$, et voir que si on inverse l'hémisphère nord et l'hémisphère sud, on gagne un $-1$ dans l'identification avec $\mathbb Z$).

Donc en fait, $H_n(M,M\setminus \{x\}) \cong \mathbb Z$, et le choix d'un isomorphisme revient à un choix d'une orientation d'une petite boule autour de $x$ (choisir le "sens" de la sphère revient à choisir une orientation de $\mathbb R^n$) . Pour mieux comprendre ça, un bon exercice est de montrer que si $f\in GL_n(\mathbb R)$, l'application induite sur $H_n(\mathbb R^n\setminus\{0\})$ est $\frac{\det(f)}{|\det(f)|}$
(important : pour prouver cet isomorphisme, on a choisi un homéomorphisme entre notre petite boule $B$ et $\mathbb R^n$ - si on choisit un autre homéomorphisme, l'isomorphisme qu'on obtient va dépendre de l'orientation de la "différence", d'où l'intérêt de cette dernière formule)

Donc finalement, le choix d'un isomorphisme à $\mathbb Z$ est une orientation de notre variété "localement en $x$". Donc ça fait sens de dire qu'une orientation de $M$ ce serait de tels choix d'isomorphismes "cohérents" en $x$, i.e. un tel choix continu. Pour ça il nous faut une topologie, ou au moins une notion de cohérence locale (puisque si on a un choix global qui est localement cohérent, alors il est globalement cohérent : la continuité c'est une affaire locale)

Si j'ai un point $x$ et une petite boule euclidienne $B$ et que je prends un ouvert (euclidien aussi, mais je suis pas sûr que ce soit utile) $V\subset B$ contenant $x$, on va avoir que l'inclusion $(M,M\setminus V)\to (M,M\setminus\{x\})$ induit un isomorphisme en homologie. Pour voir cela, il suffit d'appliquer la naturalité de la suite exacte longue d'une paire, le lemme des $5$, et le fait que l'inclusion $M\setminus V\to M\setminus\{x\}$ est une équivalence d'homotopie - je laisse les détails en exercice.

Remarquez que cet isomorphisme $H_n(M,M\setminus V)\to H_n(M,M\setminus\{x\})$ est, lui, canonique : il ne dépend de rien.

Ainsi pour un deuxième point $y\in V$, on a une comparaison canonique $H_n(M,M\setminus\{y\})\overset{\sim}\leftarrow H_n(M,M\setminus V)\overset{\sim}\to H_n(M,M\setminus\{x\})$.

Maintenant si j'ai choisi un isomorphisme à $\mathbb Z$ en $x$, $\mu_x$, et un isomorphisme à $\mathbb Z$ en $y$, $\mu_y$, je peux les comparer, via cette comparaison canonique, et demander "sont-ils compatibles ?". Cela ne dépendra pas du $V$, tant qu'il est assez petit, pour des raisons de fonctorialité.

Ainsi, si j'ai, pour tout $x\in M$, un isomorphisme $\mu_x : H_n(M,M\setminus\{x\}) \to \mathbb Z$, je peux dire que la famille $(\mu_x)_x$ est une orientation (globale) de $M$ si, quel que soit le $V$ assez petit et les $x,y\in V$, $\mu_x, \mu_y$ sont compatibles, au sens décrit précédemment.

Une orientation de $M$ est donc un choix, pour tout $x\in M$ d'une orientation des petites boules autour de $x$, et ce de manière cohérente.

Si on a des coefficients dans un anneau $R$ (pour définir l'homologie, on regarde juste le groupe abélien $(R,+)$ sous-jacent), on peut faire la même chose, et on peut parler de $R$-orientation; en particulier on peut faire ça avec $R=\mathbb F_2,\mathbb F_3, \mathbb Z$.

Théorème : pour tout $M$, $M$ est $\mathbb F_2$-orientable.
Preuve : $Aut(\mathbb F_2)$ est trivial, donc les isomorphismes $\mu_x$ sont nécessairement compatibles, quels qu'ils soient.

On voit ici que mes délires de "c'est parce que l'iso est canonique" cachent une réalité : c'est la non-canonicité de de l'iso $H_n(M,M\setminus\{x\})\cong \mathbb Z$ qui induit des problèmes d'orientabilité - si c'était canonique, tout serait compatible

Théorème : si $M$ est une variété différentiable, alors elle est $\mathbb Z$-orientable (si et seulement si elle est $\mathbb R$-orientable,) si et seulement si elle est orientable au sens usuel différentiel.

Pour ce second-là, il faut prendre au sérieux quelques remarques que j'ai déjà mentionnées, et aussi donner une interprétation "fibresque" de l'orientation : en fait, les $H_n(M,M\setminus\{x\}; R)^\times$ (je mets un $^\times$ pour indiquer que c'est "le sous-ensemble des générateurs en tant que $R$-module" - qui correspond, si on fixe un iso avec $R$, à l'ensemble des unités de $R$, c'est un léger abus de notation) peuvent s'assembler avec une topologie en un gros espace $o_R(M)$ muni d'une application continue $o_R(M)\to M$ qui en fait un revêtement. A noter : chaque fibre est $H_n(M,M\setminus\{x\}; R)^\times$ avec la topologie discrète. En particulier, pour $R=\mathbb R$, la topologie est discrète sur les fibres, ce n'est pas la topologie usuelle sur $\mathbb R^*$.

On peut montrer facilement qu'une orientation est la même chose qu'une section continue de ce revêtement (en particulier, $M$ est $R$-orientable si et seulement s'il est non-connexe) - cela découlerait quasi-immédiatement de la définition de la topologie, mais j'ai la flemme de l'écrire bien (je pourrais aussi dire "je laisse en exercice la définition de la topologie sur $\coprod_{x\in M}H_n(M,M\setminus\{x\};R)^\times$ avec cet objectif en tête", parce qu'en vrai ça se fait)

On peut ensuite facilement créer une application continue au-dessus de $M$, $\bigwedge^n T^*M\setminus\{0\}\to o_\mathbb Z(M)$, qui, sur les fibres, est précisément une équivalence d'homotopie $\bigwedge^n T_x^*M\setminus\{0\} \to \{\pm 1\}$, et donc l'existence d'une section d'un côté ou de l'autre sont équivalentes (et à scalaire près à gauche, on a une bijection entre les orientations)

(on peut montrer l'équivalence avec $\mathbb R$-orientabilité, mais j'ai la flemme; la preuve la plus directe utilise le théorème des coefficients universels, que je n'ai pas introduit)

Ainsi, le slogan que j'avais essayé d'expliquer, "l'orientabilité au sens différentiel se généralise en une notion de $R$-orientabilité, et qui se spécialise, pour $R=\mathbb F_2$, en une notion qui est triviale", est plutôt vrai.


Bon je suis allé (très) vite à certains endroits, mais c'est au moins un bon "outline" de ce que je voulais expliquer - et c'est déjà très long (normal, j'ai essayé de raconter un demi-cours de topologie algébrique en un post :-D )
Il y a sûrement plein de coquilles, j'ai écrit ça de mémoire, sans trop me relire - donc ayez de l'indulgence ;-) (mais dites-moi les coquilles qu'il y a, ça me permettra de les corriger)
Si vous (évidemment je m'adresse plus spécifiquement à Christophe) avez des questions, n'hésitez bien évidemment pas - comme je l'ai dit je suis allé vite et je n'ai pas tout dit du tout, donc il faudra compléter par endroits j'imagine.
Voilà voilà, si vous êtes arrivés là, bah... cool ?