Produit cartésien de chaînes singulières
Bonjour,
Soient $X,Y$ des espaces topologiques, $\Delta^n$ le $n$-ième complexe simplicial, $S(X)$ le $R$-module simplicial engendré par les application $\Delta^n \xrightarrow{\mathcal{C}^0} X$ et $C_*(X)$ le complexe de chaînes pour l'homologie singulière de $X$. Ma question porte sur le morphisme $$\times : C_*(X) \otimes C_*(Y) \xrightarrow{\,EZ\;}C_*(S(X)\otimes S( Y)) \cong C_*(X\times Y).$$ Soient des applications continues $c:\Delta^i \to X$ et $c':\Delta^j \to Y$. $c\times c'$ s'écrit comme une somme de chaines élémentaires : $c\times c' = \sum r_k c_k$ avec $r_k = \pm 1\in R$ et $c_k : \Delta^n \to X\times Y$. Je note par abus de notations $(c\times c')(\Delta^n) = \bigcup c_k(\Delta^n)$.
Lecture facultative :
J'ai essayé avec $X=Y=\Bbb R$, $i=j=1$, $n=2$ et $c=c'=$ l'une des deux bijections naturelles $\Delta^1 \to [0,1]$, mettons celle qui envoie $(1,0)$ sur $0$ et $(0,1)$ sur $1$. Les $(1,1)$-mélanges sont $$\left(\begin{array}{ccc} \mu_1 : 0\mapsto 0,1\mapsto 1,2\mapsto 1\\ \nu_1 : 0\mapsto 0,1\mapsto 0,2\mapsto 1\\ \end{array} \right) \qquad \text{et}\qquad \left(\begin{array}{ccc} \mu_2 : 0\mapsto 0,1\mapsto 0,2\mapsto 1\\ \nu_2 : 0\mapsto 0,1\mapsto 1,2\mapsto 1\\ \end{array} \right)$$ de signatures respectives $1$ et $-1$. Donc $c\times c' = \mu_1^*(c)\otimes\nu_1^*(c') - \mu_2^*(c)\otimes\nu_2^*(c') = c_1 - c_2$ avec $$c_1 : (t_0,t_1,t_2)\in\Delta^2 \longmapsto (c(t_0,t_1+t_2),c'(t_0+t_1,t_2)) \qquad \text{et}\qquad c_2 : (t_0,t_1,t_2) \longmapsto (c(t_0+t_1,t_2),c'(t_0,t_1+t_2)).$$ Donc $c_1(\Delta^1)$ est la partie de $[0,1]^2$ qui est sous la diagonale principale et $c_2(\Delta^1)$ est la partie de $[0,1]^2$ qui est au dessus de la diagonale. Ainsi, on a bien $(c\times c') (\Delta^2) = [0,1]^2 = c(\Delta^1)\times c'(\Delta^1)$ si je n'ai pas fait d'erreur. Bref, est-ce un fait plus général que mon exemple ?
Merci d'avance
Soient $X,Y$ des espaces topologiques, $\Delta^n$ le $n$-ième complexe simplicial, $S(X)$ le $R$-module simplicial engendré par les application $\Delta^n \xrightarrow{\mathcal{C}^0} X$ et $C_*(X)$ le complexe de chaînes pour l'homologie singulière de $X$. Ma question porte sur le morphisme $$\times : C_*(X) \otimes C_*(Y) \xrightarrow{\,EZ\;}C_*(S(X)\otimes S( Y)) \cong C_*(X\times Y).$$ Soient des applications continues $c:\Delta^i \to X$ et $c':\Delta^j \to Y$. $c\times c'$ s'écrit comme une somme de chaines élémentaires : $c\times c' = \sum r_k c_k$ avec $r_k = \pm 1\in R$ et $c_k : \Delta^n \to X\times Y$. Je note par abus de notations $(c\times c')(\Delta^n) = \bigcup c_k(\Delta^n)$.
Est ce que $(c\times c')(\Delta^n) = c(\Delta^i)\times c'(\Delta^j)$ ?
Lecture facultative :
J'ai essayé avec $X=Y=\Bbb R$, $i=j=1$, $n=2$ et $c=c'=$ l'une des deux bijections naturelles $\Delta^1 \to [0,1]$, mettons celle qui envoie $(1,0)$ sur $0$ et $(0,1)$ sur $1$. Les $(1,1)$-mélanges sont $$\left(\begin{array}{ccc} \mu_1 : 0\mapsto 0,1\mapsto 1,2\mapsto 1\\ \nu_1 : 0\mapsto 0,1\mapsto 0,2\mapsto 1\\ \end{array} \right) \qquad \text{et}\qquad \left(\begin{array}{ccc} \mu_2 : 0\mapsto 0,1\mapsto 0,2\mapsto 1\\ \nu_2 : 0\mapsto 0,1\mapsto 1,2\mapsto 1\\ \end{array} \right)$$ de signatures respectives $1$ et $-1$. Donc $c\times c' = \mu_1^*(c)\otimes\nu_1^*(c') - \mu_2^*(c)\otimes\nu_2^*(c') = c_1 - c_2$ avec $$c_1 : (t_0,t_1,t_2)\in\Delta^2 \longmapsto (c(t_0,t_1+t_2),c'(t_0+t_1,t_2)) \qquad \text{et}\qquad c_2 : (t_0,t_1,t_2) \longmapsto (c(t_0+t_1,t_2),c'(t_0,t_1+t_2)).$$ Donc $c_1(\Delta^1)$ est la partie de $[0,1]^2$ qui est sous la diagonale principale et $c_2(\Delta^1)$ est la partie de $[0,1]^2$ qui est au dessus de la diagonale. Ainsi, on a bien $(c\times c') (\Delta^2) = [0,1]^2 = c(\Delta^1)\times c'(\Delta^1)$ si je n'ai pas fait d'erreur. Bref, est-ce un fait plus général que mon exemple ?
Merci d'avance
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Réponses
(qui n'est d'ailleurs, à ma connaissance, pas isomorphe à $C_*(X\times Y)$, seulement quasi-isomorphe; enfin je crois... ça marche mieux avec des ensembles simpliciaux à ce niveau-là :-D --> c'est faux, ils sont bien isomorphes, pour la même raison qu'en simplicial, je raconte des bêtises)
Or $s_{i_1}...s_{i_k}\sigma$ a exactement la même image que $\sigma$ par définition, et de même pour $\sigma'$; et après ton isomorphisme (qui en est bien un et pas seulement un quasi-iso, désolé je réfléchissais à côté de la plaque) transforme $\tau\otimes \tau'$ en $(\tau, \tau') : \Delta^n\to X\times Y$.
Du coup ici à chaque fois l'image est incluse dans $\sigma(\Delta^i)\times \sigma'(\Delta^j)$, ce qui donne bien une inclusion.
Pour la réciproque il s'agit de voir que EZ n'est en fait rien d'autre qu'une décomposition simpliciale de $\Delta^i\times \Delta^j$, du coup si tu as un $(x,y)$ là-dedans, il est dans l'image de $\Delta^n$ pour l'un des $(s_\mu, s_\nu) :\Delta^n\to \Delta^i\times \Delta^j$, et donc avec ces $\mu, \nu$, tu trouves bien ton bonheur.
(voir un explication combinatoire ici)
Mhm, il faudrait s'assurer qu'il n'y a pas de doublon et donc d'annulation... ça... bon, je reviens sur ma réponse : si tu fais ton Eilenberg-Zilber, mais sans sommer les éléments que tu obtiens, alors la réponse est oui. Si tu les sommes et que tu supprimes les doublons, il y a moyen que ça bloque - je ne saurais pas te donner d'exemple mais j'ai pas d'argument en tête pour dire que les doublons n'existent pas (en fait, ils vont exister : si tu prends $\sigma, \sigma'$ constants par exemple; et je pense que dans des situations moins pathologiques mais exotiques, tu auras quand même des trucs de ce genre qui peuvent se passer, et là je ne réponds pas de ce qui peut arriver avec EZ)