Bonjour
Je cherche la démonstration de :
$C$ un ensemble convexe tel que $\bar{C}$ est un sous-espace vectoriel.
Montrer que $C$ est un sous-espace vectoriel.
Bonjour,
Je ne suis pas sûr que cette propriété soit vraie en dimension infinie. Par exemple, si $F$ est un sev strict dense dans un evn $E$, $x\in E\setminus F$ et $C$ est l'adhérence l'enveloppe convexe de $F\cup\{x\}$, alors $\overline{C}=E$ et $C$ n'a pas l'air d'être un sev.
@Calli : J’avais réfléchi ce matin à cette question, mais je ne m’en sortais pas vraiment, mais si on se limite à la dimension finie, c’est un peu plus facile (:P)
Tu peux te ramener au cas où $\bar{C}=\R^n$.
La propriété à démontrer est donc la suivante. Si $C$ est une partie convexe de $\R^n$ qui est dense dans $\R^n$, alors $C=\R^n$.
Ensuite, je pense que cela fonctionne en faisant une récurrence sur $n\in\N^\ast$, mais ça doit être assez fastidieux à rédiger.
Édit : Voir l'avant dernier post de la discussion suivante www.ilemaths.net.
En dimension infinie, le contre-exemple donné par Calli répond à l'auteur du fil. L'archive mise par Chaurien traite le cas de la dimension finie mais donne un exemple de SEV qui n'est pas l'espace entier (évidemment le document était écrit pour des étudiants autres).
Pas tant que ça, mais il y a une idée qui raccourcit beaucoup les choses. Sans cette idée "légèrement inspirée), ça peut être long (enfin ça reste du taupinage quand-même)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Le « taupinage » selon christophe, c'est juste ce que l'on appelle ordinairement les mathématiques, rédigées le plus possible clairement et honnêtement.
Montrons que si $C$ est un convexe dense dans un espace vectoriel de dimension finie $E$ alors $C=E$.
Soit $a\in E$. On veut montrer que $a\in C$. Quitte à remplacer $C$ par $C-a$, on se ramène au cas où $a=0$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $e_{n+1}=-\sum_{i=1}^n e_i$.
Comme $C$ est dense dans $E$, pour tout $i$ il existe une suite $(v_{i,k})_{k\geqslant 0}$ d'éléments de $C$ tendant vers $e_i$.
Par continuité du déterminant, si $k$ est assez grand alors $(v_{i,k})_{i=1,\ldots,n}$ est une base de $E$. On peut donc exprimer $v_{n+1,k}$ dans cette base : $v_{n+1,k}=\sum_{i=1}^n \lambda_{i,k}v_{i,k}$. Comme les $\lambda_{i,k}$ s'expriment grâce à une matrice de passage, on a $\lambda_{i,k}\to -1$ lorsque $k$ tend vers l'infini. On choisit $k$ assez grand de sorte que $\lambda_{i,k}<0$ pour tout $i$. D'après l'égalité $0=v_{n+1,k}-\sum_{i=1}^n \lambda_{i,k}v_{i,k}$, on voit que $0$ est barycentre à coefficients positifs des $v_{i,k}$ ($i=1,\ldots,n+1$) donc $0\in C$.
Le « taupinage » selon christophe, c'est juste ce que l'on appelle ordinairement les mathématiques, rédigées le plus possible clairement et honnêtement.
C'est un peu exagéré. Le taupinage renferme d'aurtes exigences, comme se contenter du programme, répéter les intructions, etc, etc.
Je ne me rappelle pas si j'ai (je ne crois pas, je ne la revoie pas et JLT a posté une preuve consrtuctive, sans AC) posté la suggestion à MrJ, pardon si je radote:
[small]Edit: foireux, lecture de la suite = perte de temps, voire plutôt post suivant, très visuel, lui. WLOG, $0\notin $ ton convex dense $C$ et par Zorn tu le prends maximal à NE PAS contenir $0$. Tu prends une base et tu regardes chaque droite vectorielle portée par un vecteur de la base. Elle ne rencontre ton convexe que d'un côté
Donc tu peux multiplier les vecteurs de la base si beson de sorte que ce soit toujours du côté où pointe chaque vecteur de la base de sorte que tous les éléments de ton convexe ont des coordonnées positives, ce qui pour le moins, si en plus il est dense, va tous nous conduire au paradis.[/small]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Mon argument bleu est foireux (enfin il aide les gens à écrire une preuve en leur évoquant Hahn Banach, mais il n'est en rien PROBANT pour une machine vérifieuse de preuves, qui refusera l'étape "tout est positif" qui ne veut rien dire).
Je le corrige.
On peut (récurrence) supposer que $0\notin C$, qui est maximal ainsi (Zorn-par-paresse). La projection de $C$ sur n'importe quel hyperplan affine par rapport à n'importe quelle direction est l'hyperplan entier (récurrence). Son intersection avec toute droite vectorielle (ie contenant $0$), est donc un intervalle non vide, ne contenant pas $0$.
On prend une droite $d$ passant par $0$, un point $a$ sur $d$ et un hyperplan $H$ qui coupe $d$ de l'autre côté de $0$ que $a$. Le convexe inclus dans $H$ formé par les points d' intersection avec $H$ d'une segment joignant $a$ et un point de $C$ de l'autre côté de $H$ que ne l'est $a$ est $H$ tout entier. En particulier, $0$ se trouve sur un tel segment, contradiction.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Non, tu as raison!!!! En fait, je l'ai écrite au cas où j'en aurais besoin (tapant en temps réel), et puis comme tu dis, il semble qu'elle n'ait jamais été utile.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
A la suite de la remarque d eJLT, je me dois de réécrire pour montrer à quel point c'est court, une fois bien regardé les détails de tout ce qui est inutile:
Hypothèse de récurrence faite (on a pris la plus petite dimension exceptionnelle éventuelle). $C$ est notre convexe dense.
Soit $A$ un point et $B\in C$ autre que $A$. Je note $d:=(AB)$. Soit $H$ un hyperplan qui coupe $d$ en un point $E$ tel que $E,A,B$ sont dans cet ordre sur $d$. Soit $L$ l'ensemble des points de $H$ qui sont sur un segment dont un bout est $B$ et l'autre est un point de demi-espace de frontière $H$ qui ne contient pas $B$. Comme $L$ est dense dans $H$, $L=H$, donc $A\in C$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
$\bar{C}$ est un sous-espace vectoriel de quoi ?
Idem pour l’adhérence, l’adhérence dans quel ensemble ?
Cordialement
Dom
Je ne suis pas sûr que cette propriété soit vraie en dimension infinie. Par exemple, si $F$ est un sev strict dense dans un evn $E$, $x\in E\setminus F$ et $C$ est l'adhérence l'enveloppe convexe de $F\cup\{x\}$, alors $\overline{C}=E$ et $C$ n'a pas l'air d'être un sev.
Édit : Correction d'un lapsus
La propriété à démontrer est donc la suivante. Si $C$ est une partie convexe de $\R^n$ qui est dense dans $\R^n$, alors $C=\R^n$.
Ensuite, je pense que cela fonctionne en faisant une récurrence sur $n\in\N^\ast$, mais ça doit être assez fastidieux à rédiger.
Édit : Voir l'avant dernier post de la discussion suivante www.ilemaths.net.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Pour la dimension finie:
Pas tant que ça, mais il y a une idée qui raccourcit beaucoup les choses. Sans cette idée "légèrement inspirée), ça peut être long (enfin ça reste du taupinage quand-même)
Oui, je préfère aussi le taupinage au chalonnage (du nom de Christophe ; ça sonne mieux que christophage qui donne l'impression qu'on parle d'une créature qui dévorerait Jésus (:P)).
Soit $a\in E$. On veut montrer que $a\in C$. Quitte à remplacer $C$ par $C-a$, on se ramène au cas où $a=0$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $e_{n+1}=-\sum_{i=1}^n e_i$.
Comme $C$ est dense dans $E$, pour tout $i$ il existe une suite $(v_{i,k})_{k\geqslant 0}$ d'éléments de $C$ tendant vers $e_i$.
Par continuité du déterminant, si $k$ est assez grand alors $(v_{i,k})_{i=1,\ldots,n}$ est une base de $E$. On peut donc exprimer $v_{n+1,k}$ dans cette base : $v_{n+1,k}=\sum_{i=1}^n \lambda_{i,k}v_{i,k}$. Comme les $\lambda_{i,k}$ s'expriment grâce à une matrice de passage, on a $\lambda_{i,k}\to -1$ lorsque $k$ tend vers l'infini. On choisit $k$ assez grand de sorte que $\lambda_{i,k}<0$ pour tout $i$. D'après l'égalité $0=v_{n+1,k}-\sum_{i=1}^n \lambda_{i,k}v_{i,k}$, on voit que $0$ est barycentre à coefficients positifs des $v_{i,k}$ ($i=1,\ldots,n+1$) donc $0\in C$.
C'est un peu exagéré. Le taupinage renferme d'aurtes exigences, comme se contenter du programme, répéter les intructions, etc, etc.
Je ne me rappelle pas si j'ai (je ne crois pas, je ne la revoie pas et JLT a posté une preuve consrtuctive, sans AC) posté la suggestion à MrJ, pardon si je radote:
[small] Edit: foireux, lecture de la suite = perte de temps, voire plutôt post suivant, très visuel, lui. WLOG, $0\notin $ ton convex dense $C$ et par Zorn tu le prends maximal à NE PAS contenir $0$. Tu prends une base et tu regardes chaque droite vectorielle portée par un vecteur de la base. Elle ne rencontre ton convexe que d'un côté
Donc tu peux multiplier les vecteurs de la base si beson de sorte que ce soit toujours du côté où pointe chaque vecteur de la base de sorte que tous les éléments de ton convexe ont des coordonnées positives, ce qui pour le moins, si en plus il est dense, va tous nous conduire au paradis.[/small]
Je le corrige.
On peut (récurrence) supposer que $0\notin C$, qui est maximal ainsi (Zorn-par-paresse). La projection de $C$ sur n'importe quel hyperplan affine par rapport à n'importe quelle direction est l'hyperplan entier (récurrence). Son intersection avec toute droite vectorielle (ie contenant $0$), est donc un intervalle non vide, ne contenant pas $0$.
On prend une droite $d$ passant par $0$, un point $a$ sur $d$ et un hyperplan $H$ qui coupe $d$ de l'autre côté de $0$ que $a$. Le convexe inclus dans $H$ formé par les points d' intersection avec $H$ d'une segment joignant $a$ et un point de $C$ de l'autre côté de $H$ que ne l'est $a$ est $H$ tout entier. En particulier, $0$ se trouve sur un tel segment, contradiction.
Hypothèse de récurrence faite (on a pris la plus petite dimension exceptionnelle éventuelle). $C$ est notre convexe dense.
Soit $A$ un point et $B\in C$ autre que $A$. Je note $d:=(AB)$. Soit $H$ un hyperplan qui coupe $d$ en un point $E$ tel que $E,A,B$ sont dans cet ordre sur $d$. Soit $L$ l'ensemble des points de $H$ qui sont sur un segment dont un bout est $B$ et l'autre est un point de demi-espace de frontière $H$ qui ne contient pas $B$. Comme $L$ est dense dans $H$, $L=H$, donc $A\in C$