Homéomorphismes entre espaces $L^p$
Bonjour,
Soient $1<p<q<+\infty$ et $I$ un intervalle égal à $\Bbb R$ ou $[0,1]$. La mesure considérée est la mesure de Lebesgue.
Merci
Soient $1<p<q<+\infty$ et $I$ un intervalle égal à $\Bbb R$ ou $[0,1]$. La mesure considérée est la mesure de Lebesgue.
- Existe-t-il une isométrie linéaire bijective $L^p(I) \to L^q(I)$ ?
- Existe-t-il un homéomorphisme linéaire $L^p(I) \to L^q(I)$ ?
Merci
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Réponses
Pour la deuxième question, je n'ai pas trop d'idée.
Pour la deuxième question, je ne sais même pas y répondre en enlevant le mot "linéaire" ! Peut-être qu'il faut seplonger dans les histoires de bases de Schauder des Banach et autres joyeusetés. En tout cas, ça ne m'étonnerait pas que ça touche à l'étude des propriétés fines des Banach. Il faudra vraiment que je lise le livre d'Albiac et Kalton un jour !
Peut-être que le théorème "un isomorphisme continu entre Banach est un homéomorphisme" peut être utile dans la deuxième question. Je ne sais pas, je dis ça comme ça.
Pour les bases de Schauder, je viens de lire que les $L^p([0,1])$ ont une base de Schauder commune. Mais les contraintes sur les coefficients des combinaisons linéaires dépendent de $p$, donc c'est compliqué...
Édit : Peut-être qu'en faisant varier la base avec $p$...
En particulier les $L^p([0, 1])$ sont homéomorphes pour $1 \leq p < +\infty$ !