Homéomorphismes entre espaces $L^p$

Bonjour,
Soient $1<p<q<+\infty$ et $I$ un intervalle égal à $\Bbb R$ ou $[0,1]$. La mesure considérée est la mesure de Lebesgue.

1. Existe-t-il une isométrie linéaire bijective $L^p(I) \to L^q(I)$ ?
2. Existe-t-il un homéomorphisme linéaire $L^p(I) \to L^q(I)$ ?

J'ai cherché des propriétés qui distingueraient ces espaces, mais ils se ressemblent tellement ! Ce sont tous les evn de dimension infinie, complets, séparables, réflexifs, uniformément convexes, de même cardinal... Le seul qui sort un peu du lot est le Hilbert $L^2(I)$ qui n'est vraisemblablement pas isométrique aux autres $L^p(I)$ (car ceux-ci n'ont pas l'air d'être des Hilbert), donc considérons $p,q\neq 2$ dans la première question.
Merci